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Fxy=Fyxの証明はこれではだめですか？
kabaokabaの回答
- kabaokaba
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＞これでも違うのですか？ そう，ちがう． そもそも，書いてることが 補足のたびに微妙に違ってるのはどうして？ >すなわち、h→0とするならば、 >1/h｛F(x,y＋h)-F(x,y)｝= Fy >1/h｛Fy(x＋h,y)-Fy(x,y)｝= Fxy これは h→0とするならば、 1/h｛F(x,y＋h)-F(x,y)｝= Fy t→0とするならば、 1/t｛Fy(x＋t,y)-Fy(x,y)｝= Fxy こういう意味なのですよ． hという同じ文字だからといって，同じなわけではない． 代入なんかしちゃいかんよ． とってる極限が別個のものだから たまたま同じ文字hを使っても問題ないだけで 実際は「違うもの」なんだから． 何度でもいうけど， （二階の）偏微分は「あらゆる方向の微分」じゃない． このことに対する反論がないけど，それは納得してるのかな？ 理解できてるなら こんな「代入」なんかは主張しないと思う． ついでにいうけど ＞Fは(x,y)でx,yについて偏微分可能かつFxyとFyxも(x,y)において存在すると言っている以上、 また「連続性の仮定」が落ちてるし，一点での連続性じゃ不足． こういう大事な仮定を無造作に落とすのは 数学の議論としては致命的だよ． いい加減疲れたから，検索して見つけた反例 F(x,y)=xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2) F(0,0)=0 とすると，あなたの質問文でいう条件は全部満たすけど 実は Fxy(0,0)=1 Fyx(0,0)=-1 になる． つまり，あなたの証明はだめってこと． 計算はきちんと定義に従って， (0,0)での偏導関数を求めればいいだけ． Fは(0,0)で連続だし， FxもFyも(0,0)で存在するし，FxyもFyxも(0,0)で存在するのが すぐわかるはず． なんでだめかは 今まで私が指摘したとおり． 偏微分の定義を正しく理解していないことと 極限のとり方とかの呼吸が間違ってることかな． では。
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