等速円運動の微笑変化

質問

質点が軌道半径r、角運動ωの等速円運動を考えます。
この運動に対して軌道半径に微小な撹乱δrを与えたとき、その撹乱が時間と共に成長しないための条件を求めよ

どう解いてよいのかも分かりません・・
どなたか教えてください。よろしくお願いします。

回答No.2

Akira_Oji · ベストアンサー

No.1の回答者さんの線に沿ってやってみます。

（平面上を）円運動をしているので、遠心力以外に向心力を生じさせている中心へ向かう力が懸かっているので、それをポテンシャル・エネルギーU(r)から考えるとして、ｒとθを使った極座標で運動方程式を立てる。運動方程式は次の二式の連立になります。

ｍ(dr^2/dt^2)=-（dU/dr)+mr(dθ/dt)^2

(d/dt)(mr^2(dθ/dt))=0

第１式の右辺第１項はポテンシャル・エネルギーによる中心力、第二項は遠心力。第２式は結果的に角運動量の保存を表している。この第２式より、

L=mr^2(dθ/dt)=m（r０^2）ω

Lは一定な角運動量。これを使って第１式の(dθ/dt)を消去すると、

ｍ(dr^2/dt^2)=-（dU/dr)+mr(L/mr^2)^2

整理して、

ｍ(dr^2/dt^2)=-（dU/dr)+(L^2/mr^３)

この右辺はつりあいの半径ｒ＝ｒ０では、ちょうど０になっている。第１項はマイナス、第２項はプラスでｒ＝ｒ０で０となっているが、
ｒ０　-->　r０+δr
で（δr＞０のとき）マイナスになれば、安定となる。（δr＜０のとき）プラスになれば、安定となる
（時間と共に成長しない。）この右辺をｒ＝ｒ０のまわりで　δr　で展開すると、

-（dU/dr)+(L^2/mr^３)＝-（dU/dr)＿ｒ０－｛（d＾２U/dr＾２)＿ｒ０｝＊δr+(L^2/m（r０^３）)-３(L^2/mr０^４)＊δr

となるが、第１項と第３項はｒ＝ｒ０で打ち消しあう、よって、

-（dU/dr)+(L^2/mr^３)＝－｛（d＾２U/dr＾２)＿ｒ０｝＊δr-３(L^2/mr０^４)＊δr＜０

[－｛（d＾２U/dr＾２)＿ｒ０｝-３(L^2/mr０^４)]＊δr＜０

ここでの角運動量Lの値は、L=m（r０^2）ωを使う。
間違いがあるかもしれませんので、自分で納得のいくように、確かめてください。最初の運動方程式２式はオイラー・ラグランジュの方法で求めると簡単です。

お礼

ありがとうございました！
早速やってみたいと思います。

回答No.1

stead2009

まず運動方程式を立てましょう。
そして、つりあいの位置からの微小変化をdrとおき、r→r+drとして代入。drの運動方程式を得る。みたいな感じだったとおもいます。

お礼

ありがとうございました！