高校物理です。単振動と等速円運動についてです。大至急回答おねがいします。

質問

高校物理です。
単振動と等速円運動についてです。
大至急回答おねがいします。

単振動は等速円運動の正射影にあたる運動である。と物理のエッセンスにかいていました。
これは単振動と等速円運動は違うものだということでしょうか？

つまり単振動である必要十分条件は合力(復元力)F＝-K(正の定数)x位置とあったのですが、等速円運動での復元力はどいうったものなのでしょう？
合力の考え方で考えると公式に書いている合力とちがいます。半径A、角速度ω、ｍを質量、ｇを重力加速度、時刻をｔとすると
F＝-m(Asinwt)ω^2「遠心力より」+mgとぼくの計算ではなりました。
しかし復元力はF=-mAsinwtω^2とならなければいけません。
そして振動の中心であるAsinwt＝0のとき僕の式では成り立ちませんでした。

どうして成り立たないか教えてください。
お願いします。

回答No.5

sanori

ついでに書いておきますが、
観覧車で、
・重力がある
・外周の１箇所だけ重いおもりがついていて、重さに偏りがある
・観覧車を構成する材料は丈夫で、ゆがまない
・１回勢いをつけて回転し始めたら、あとは、動力を供給しない
・観覧車は摩擦なく滑らかに回転する
といった状況で、観覧車を回すと、
おもりが高い場所にあるときには、円運動は遅くなり、
おもりが低い場所にあるときには、円運動は速くなります。

（力学的エネルギーの保存・・・おもりが高いときほど位置エネルギーが大きい）

回答No.4

sanori

＞＞＞
ではぼくが答えてもらいたいことは、等速円運動をする物体にかかる力の合力を考えると向心力と重力がかかっています。
なのにどうして重力を無視しているのでしょうか？
等速円運動を単振動にしたものも同じで重力を無視しています。
どうしてでしょうか？
もし、重力を無視していないのならば、単振動や等速円運動をしている物体には向心力と重力がかかっているはずです。
それなのにどの式を見ても復元力を考えているのは向心力だけです。
おかしくないですか？

無視しているのではなく、重力を引き合いに出していないだけです。
Ｘ方向なりＹ方向なりに一方的に重力がある場合は、等速円運動にはなりません。

地上の等速円運動の例としては観覧車がありますが、
これは、観覧車を構成している材料が、重力に打ち勝って変形しないから、等速円運動になるわけです。
つまり、重力に打ち勝つ力と重力との合力がゼロなのです。
（板や地面の上に物が乗っかっているとき、垂直抗力が働くことと同じです。
　垂直抗力がないと、板や地面が変形して、物が下にめりこんでいきます。）

＞＞＞
復元力は合力です。
そのことは間違っていないはずです。

何度も言いますが、等速円運動というものに「復元力」という概念はありません。

＞＞＞
ですから僕が答えてもらいたいのは等速円運動を単振動にした時の位置ｘでの合力Fです。

前回回答の、
ｍａx　＝　－ｍω^2・ｘ
ｍａy　＝　－ｍω^2・ｙ
が、その答えです。

Ｘ方向に、－ｍω^2・ｘ　のベクトル
Ｙ方向に、－ｍω^2・ｙ　のベクトル
この２つを足したベクトルが合力であり、向心力です。

回答No.3

noname#110201

>ですから僕が答えてもらいたいのは等速円運動を単振動にした時の位置
>ｘでの合力Fです。
No2の方の書いた

（Ｆx，Ｆy）＝（ｍａx，ｍａy）
　＝　（－ｍω^2・Ａsin（ωｔ＋α），　－ｍω^2・Ａcos（ωｔ＋α））

じゃ、だめなのか？？？

>それなのにどの式を見ても復元力を考えているのは向心力だけです。
>おかしくないですか？

おかしくない。
多分、観覧車みたいに、地面に垂直な平面に沿って円運動をしている場合を考えているのだろうけど、それが本当に等速円運動しているのなら、重力とほにゃらら力の合力の、地面に垂直な方向の成分が

向心力の地面に垂直な成分 ＝　－ｍＡsinωｔ・ω^2

となっているわけだ。
だから、観覧車の、回っている腕の張力を測定すれば、時間の関数になっているはず。

いちいち復元力とか、向心力とか、なんとか力とか、なんとか力とか名前をつけて分かったような気になっているから混乱するのでは？

補足

等速円運動をしている物体には重力そして向心力がかかっています。
そしてそれを単振動にします。
そうすると、合力F＝-ω^2Asinωtとなってました。
これは向心力の垂直成分の力です。
ということは重力がなくなったということです

回答No.2

sanori

ちょっと別の説明にしてみましょうか。

まず、ご質問文に
＞＞＞復元力はF=-mAsinwtω^2
と書かれていますが、正しくは、
Ｆ　＝　－ｍＡsinωｔ・ω^2
です。
あなたは、ｗとωを別の文字として書いていますが、
正しくは、どちらも同じωです。

さて、
高校では物理に微積分を使わないでしょうが、使ったほうが簡単なので、それで説明します。

Ｆ　＝　－ｍω^2Ａsinωｔ
という得体の知れない式が、一体どっから降って来たのかを説明します。

単振動は
ｘ　＝　Ａsin（ωｔ＋α）
と書くことができます。
ｘは、位置を表します。（振動の真ん中の位置がｘ＝０）

ｘをを時刻ｔで１回微分すると、速度ｖになります。
ｖ　＝　ｄｘ／ｄｔ　＝　ωＡcos（ωｔ＋α）

さらにｔで１回微分すると、加速度ａになります。
ａ　＝　ｄｖ／ｄｔ　＝　－ω^2・Ａsin（ωｔ＋α）

よって、運動方程式は、
Ｆ　＝　ｍａ　＝　－ｍω^2・Ａsin（ωｔ＋α）
となり、このＦが復元力だということです。

次に、等速円運動ですが、

円運動を真横から見ると、
ｘ　＝　Ａsin（ωｔ＋α）
という単振動に見えます。
また、
円運動を真下から見ると、
ｙ　＝　Ａcos（ωｔ＋α）
という単振動に見えます。

ですから、円運動というのは、
ｘ　＝　Ａsin（ωｔ＋α）
ｙ　＝　Ａcos（ωｔ＋α）
という、ｘ座標、ｙ座標を表す２つの式で表されます。
つまり、
（Ａsin（ωｔ＋α），　Ａcos（ωｔ＋α））
という成分で表されるベクトルなのです。

１回微分すれば、
Ｘ方向速度　＝　Ｖx　＝　ωＡcos（ωｔ＋α）
Ｙ方向速度　＝　Ｖy　＝　－ωＡsin（ωｔ＋α）
となります。
これも、Ｖx、Ｖyのうちの片方だけ見れば単振動と同じです。
速度ベクトルは、
（ωＡcos（ωｔ＋α），　－ωＡsin（ωｔ＋α））
です。

速さ（速度の絶対値）は、三平方の定理により
｜Ｖ｜　＝　√（Ｖx^2　＋　Ｖy^2）
　＝　√（ωＡcos（ωｔ＋α））^2＋（－ωＡsin（ωｔ＋α））^2）
　＝　｜ωＡ｜・√（cos（ωｔ＋α））^2＋（sin（ωｔ＋α））^2）
　＝　｜ωＡ｜・１
　＝　｜ωＡ｜
というわけで、ｔがない式になりました。
それが何を意味するかといえば、
「速さは時間によらず、一定である」
ということです。
それは、“等速”円運動であることを表しています。

今度は加速度です。
速度をｔで微分して、
Ｘ方向加速度　＝　ａx　＝　－ω^2・Ａsin（ωｔ＋α）
Ｙ方向加速度　＝　ａy　＝　－ω^2・Ａcos（ωｔ＋α）

ですから、運動方程式は、
Ｆx　＝　ｍａx　＝　－ｍω^2・Ａsin（ωｔ＋α）
Ｆy　＝　ｍａy　＝　－ｍω^2・Ａcos（ωｔ＋α）
となります。

ベクトルで書けば、
Ｆ→　＝　ｍ・ａ→
の１本だけです。

ベクトルの成分表示で書けば、
（Ｆx，Ｆy）＝（ｍａx，ｍａy）
　＝　（－ｍω^2・Ａsin（ωｔ＋α），　－ｍω^2・Ａcos（ωｔ＋α））
です。

加速度の大きさは、
｜ａ｜　＝　√（ａｘ^2　＋　ａ^y^2）
　＝　√（－ω^2・Ａsin（ωｔ＋α））^2　＋　（－ω^2・Ａcos（ωｔ＋α））^2）
　＝　｜ω^2・Ａ｜√（sin（ωｔ＋α））^2　＋　（cos（ωｔ＋α））^2）
　＝　｜ω^2・Ａ｜・１
　＝　｜ω^2・Ａ｜

ω^2・Ａ　って、どっかで見たことありませんか？
（普通、Ａの代わりに円の半径ｒを使って、ｒω^2　と書きます。）
つまり、ω^2・Ａ　に　ｍ　をかけたものは、
向心力や遠心力の大きさと同じです。

つまり、
ｇ　＝　ω^2・Ａ
であり、これが方程式となるのですが、
高校レベルでは、ｇ＝ω^2・Ａ　から逆算して（積分して）等速円運動の方程式を導き出すことはできないはずです。
（ずるで公式を使えば別ですが、それは邪道です。）
大学で習う微分方程式の世界になります。

ちなみに、
Ｘ方向加速度　＝　ａx　＝　－ω^2・Ａsin（ωｔ＋α）
Ｙ方向加速度　＝　ａy　＝　－ω^2・Ａcos（ωｔ＋α）
と
ｘ　＝　Ａsin（ωｔ＋α）
ｙ　＝　Ａcos（ωｔ＋α）
と見比べると、
ａx　＝　－ω^2・ｘ
ａy　＝　－ω^2・ｙ
となります。
両辺にｍをかければ、
ｍａx　＝　－ｍω^2・ｘ
ｍａy　＝　－ｍω^2・ｙ
となり、ｘとｙのどっちか片方の式だけ見れば、復元力の式と同じ形になります。

では、この辺で。

お礼

ありがとうございました
よくわかりました
すいません
僕の理解度の低さはもうだめですね。

また質問する時にはよろしくお願いします。

補足

すいません
やっぱり僕の言いたいことが伝わっていないようです。
何を答えてほしいかを書いていなかったので僕がわるかったです。
すいませんでした。

ではぼくが答えてもらいたいことは、等速円運動をする物体にかかる力の合力を考えると向心力と重力がかかっています。
なのにどうして重力を無視しているのでしょうか？

等速円運動を単振動にしたものも同じで重力を無視しています。
どうしてでしょうか？
もし、重力を無視していないのならば、単振動や等速円運動をしている物体には向心力と重力がかかっているはずです。
それなのにどの式を見ても復元力を考えているのは向心力だけです。
おかしくないですか？
復元力は合力です。
そのことは間違っていないはずです。

ですから僕が答えてもらいたいのは等速円運動を単振動にした時の位置ｘでの合力Fです。

回答No.1

sanori

こんばんは。

＞＞＞
単振動は等速円運動の正射影にあたる運動である。と物理のエッセンスにかいていました。
これは単振動と等速円運動は違うものだということでしょうか？

はい。違うものです。
単振動の例としては、バネの先におもりをつけて、少し延ばした状態で手を放すと単振動が始まります。
その運動は、誰が見ても円運動ではありませんよね？

＞＞＞
つまり単振動である必要十分条件は合力(復元力)F＝-K(正の定数)x位置とあったのですが、等速円運動での復元力はどいうったものなのでしょう？

等速円運動に「復元力」という概念はありません。
等速円運動は向心力で運動している状態です。
その円運動を真横から見たとき（射影を見たとき）、単振動に見えるということです。

＞＞＞
合力の考え方で考えると公式に書いている合力とちがいます。
半径A、角速度ω、ｍを質量、ｇを重力加速度、時刻をｔとすると
F＝-m(Asinwt)ω^2「遠心力より」+mgとぼくの計算ではなりました。
しかし復元力はF=-mAsinwtω^2とならなければいけません。
そして振動の中心であるAsinwt＝0のとき僕の式では成り立ちませんでした。

単振動と等速円運動をごっちゃにとらえているので、成り立たなくて当然です。

単振動は復元力で起こるもの、等速円運動は向心力で起こるもの、
それを踏まえた上で、いったん考え直してみてはいかがですか。
ちなみに
単振動の復元力は、プラスとマイナスだけで済みますが、
等速円運動の向心力は刻々と角度（向き）が変わりますから、
それも念頭に入れないといけません。
（具体的には、sinとcosの両方が要る）

以上、ご参考になりましたら幸いです。

補足

すいません
わかりません
考え直してみましたが全く理解不能です。
まず、等速円運動を単振動にした時に向心力が復元力になるのではないのでしょうか？
そして、一口に等速円運動といっても運動する方向によって少し違うということも思いました。
上下に等速円運動をするのと左右に等速円運動をするのでは違うと思います。(上下は重力の影響をうけるので)

結局僕が分からないのは、等速円運動を単振動としたとき単振動してないような気がすることです。
等速円運動をしている物体が単振動していると考えて合力を考えると、復元力のかたちにはなりません。
もうひとつ、等速円運動をしている物体の運動の向きによって物体にかかる合力が変化すると思います。
最後に左右に等速円運動をしていて物体は鉛直方向に重力をうけると考えると、他に物体にかかっているのは向心力だけで物体は鉛直方向にも運動すると思います。

以上のことで回答おねがいします