単振動について

質問

棒の振動という問題なのですが、もう手のつけようがないので質問させて頂きます

断面積0.40[cm^2]の軽い棒の下端に24.5[g]の小さなおもりをとりつけ、水面に浮かべ上下方向に振動させた。
鉛直上向きを正として答えよ。

という問題です（原文そのまま）
具体的に求めるのは
(1)棒がつり合いの位置よりx[m]だけ上方にあるとき、棒に働く合力F(N)をxの式で表せ。水の密度を1.0[g/cm^3]とする
(2)棒の振動の周期を求めよ

となっています
答えは
(1)-0.39x[N]
(2)1.6[s]

他の単振動の問題も解説を聞く限りでは納得できるんですが、自分で式を立てて問題を解くとなると手が出ません
単振動のような問題と解く時はどういった所に着眼すれば良いのでしょうか？

回答No.2

sakura_214 · ベストアンサー

この問題では，棒は「軽い」ということで（水の密度に比べて）その質量は無視できると解釈します．（棒の中が中空か，とても軽い材質なのでしょう）また，重力加速度はg=9.8[N/kg]で計算します．

まず，この問題の状況はきちんと把握しているでしょうか？棒を水に沈めると，アルキメデスの原理により沈めた棒が押しのけた水の体積分の重さ（重量）だけ上に浮力が発生します．すなわちd[cm]だけこの棒を水に沈めると，0.40[cm^2]×d[cm]×1[g/cm^3]=0.40d[g]（注：単位は[g]ではなく本当は[g重]と書くのが正しい）だけ浮力が発生します．この棒の下に24.5[g]のおもりをつけるので，上向きの棒の浮力と下向きのおもりの重力がつりあって棒がある程度水に沈んでつり合うことになります．
この問題では使わなくても解くことができますが，そのつり合いの位置dは0.40d=24.5より，d=61.25≒約61[cm]です．
なお，この問題では使用する単位系がまちまちなので単位に注意して計算しましょう．

（１）棒がつり合いの位置よりx[m]だけ上方ということなので，その分浮力が減り，（棒の浮力）＜（おもりの重力）となるので，下向きに減った浮力の分だけ力がかかります．減った浮力の分は，浮き上がった棒の体積分の水の重さ（重量）なので，
F=-0.40×100x×1=-40x[g重]
です．ここで1[kg重]=9.8[N]→1[g重]=9.8/1000=0.0098[N]なので，
F=-40x[g重]×0.0098=-0.392≒-0.39x[N]
となります．

（２）つりあいの方向に，つりあいの位置からの距離に比例した力が働くので，この棒は単振動を起こします．その比例係数k（kはF=-kxのこと）は（１）よりk=0.39[N/m]であり，単振動を起こす棒の質量m（といっても実際は棒自体の質量は無視しているので，これにくっついているおもりの質量）は，m=0.0245[kg]です．よって，周期Tは
T=2π√(m/k)≒2×3.14×√(0.0245/0.39)≒1.6[s]
となります．

（参考）周期T=2π√(m/k)の式は，もし微分方程式を知っているならば，運動方程式
m(d^2x/dt^2)=-kx → x=A*cos(√(k/m) t+δ) （A,δは定数）
より，この三角関数の周期T=2π√(m/k)となって導くことができます．

＞単振動のような問題と解く時はどういった所に着眼すれば良いのでしょうか？

私自身が昔よく言われたのは，冒頭のようにまずつりあいの位置を求め，次にこの問題の誘導にあるように，「つりあいの位置からある距離をとってその位置での力を求め」ます．もし単振動ならば（１）のようにその力はつりあいの位置から比例する中心力になっているはずです．この力の比例定数kと単振動を起こしている物体の質量mからさらに，（２）のように適当な公式から（または微分方程式を解いて）周期や振動数を求めることができます．問題を解くことだけに限ればですが，この問題では「」内の計算をすることをよく覚えておきましょう．

回答No.1

Teleskope

魚釣りの浮きですね。釣り合い状態では

　　棒の浮力 = おもりの重力

　棒を持ち上げると 水面に出た分の浮力が減るから沈もうとする。棒を沈み込ませると 浮力が増えて浮き上がろうとする。これ、バネと同じですね。
　浮力は押しのけた液体の重さと同じ。重さは質量×重力加速度。質量は棒の体積で押しのけられた水の質量、、
こんな雑学?が必要です。

解くと、
　　(1) 復元力 = -0.3920X [N]
　　(2) 振動周期 = 1.5708 [s]
でした。