高校物理です。

質問

高校物理です。
単振動と円運動についてです。
大至急解答おねがいします。

単振動は等速円運動の正射影にあたる運動である。と物理のエッセンスにかいていました。
これは単振動と等速円運動は違うものだということでしょうか？

つまり単振動である必要十分条件は合力(復元力)F＝-K(正の定数)x位置とあったのですが、等速円運動での復元力はどいうったものなのでしょう？
合力の考え方で考えると公式に書いている合力とちがいます。半径A、角速度ω、ｍを質量、ｇを重力加速度、時刻をｔとすると
F＝-m(Asinwt)ω^2「遠心力より」+mgとぼくの計算ではなりました。
しかし復元力はF=-mAsinwtω^2とならなければいけません。
そして振動の中心であるAsinwt＝0のとき僕の式では成り立ちませんでした。

どうして成り立たないか教えてください。
お願いします。

回答No.3

Chaos9HEAd

＞単振動は等速円運動の正射影にあたる運動である。と物理のエッセンスにかいていました。
＞これは単振動と等速円運動は違うものだということでしょうか？

運動そのものを見た場合は、違いますが、
方程式として記述した場合、等速円運動は単振動とみなせる（＝単振動と同じ形の方程式で書ける）と言う事です。その逆も同じです。
正射影と言うのは、半径Aの円の中心を原点とした縦軸y、横軸xの円を考えた時の、物体の運動のy成分、
つまり、角速度ωで等速円運動している場合、正射影(y成分)はAsinωtとなります。

＞F＝-m(Asinwt)ω^2「遠心力より」+mgとぼくの計算ではなりました。

この式ですが、力の働く方向（力の成分）に注意してもう一度考え直してみてください。すると、答えが見えてきますよ。

こちらも参考にどうぞ。
物理のかぎしっぽHP内の単振動　～等速円運動の射影～（http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/simpleHarmonicMotion/）

補足

注意してやってみましたがやはり僕が質問した時と同じ式がでてきました
お手数ですが投稿してください
おねがいします

回答No.2

sanori

同じ質問を２回投稿するのは、やめてもらえませんか。
どっちか一方が、スタッフさんによって、強制的に締め切りにされてしまうんです。
ダメージを受けるのは、質問者ではなく回答者です。

あちらへ投稿した回答をこちらにも書いておきますね。

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こんばんは。

＞＞＞
単振動は等速円運動の正射影にあたる運動である。と物理のエッセンスにかいていました。
これは単振動と等速円運動は違うものだということでしょうか？

はい。違うものです。
単振動の例としては、バネの先におもりをつけて、少し延ばした状態で手を放すと単振動が始まります。
その運動は、誰が見ても円運動ではありませんよね？

＞＞＞
つまり単振動である必要十分条件は合力(復元力)F＝-K(正の定数)x位置とあったのですが、等速円運動での復元力はどいうったものなのでしょう？

等速円運動に「復元力」という概念はありません。
等速円運動は向心力で運動している状態です。
その円運動を真横から見たとき（射影を見たとき）、単振動に見えるということです。

＞＞＞
合力の考え方で考えると公式に書いている合力とちがいます。
半径A、角速度ω、ｍを質量、ｇを重力加速度、時刻をｔとすると
F＝-m(Asinwt)ω^2「遠心力より」+mgとぼくの計算ではなりました。
しかし復元力はF=-mAsinwtω^2とならなければいけません。
そして振動の中心であるAsinwt＝0のとき僕の式では成り立ちませんでした。

単振動と等速円運動をごっちゃにとらえているので、成り立たなくて当然です。

単振動は復元力で起こるもの、等速円運動は向心力で起こるもの、
それを踏まえた上で、いったん考え直してみてはいかがですか。
ちなみに
単振動の復元力は、プラスとマイナスだけで済みますが、
等速円運動の向心力は刻々と角度（向き）が変わりますから、
それも念頭に入れないといけません。
（具体的には、sinとcosの両方が要る）

以上、ご参考になりましたら幸いです。

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すいません
わかりません
考え直してみましたが全く理解不能です。
まず、等速円運動を単振動にした時に向心力が復元力になるのではないのでしょうか？
そして、一口に等速円運動といっても運動する方向によって少し違うということも思いました。
上下に等速円運動をするのと左右に等速円運動をするのでは違うと思います。(上下は重力の影響をうけるので)

結局僕が分からないのは、等速円運動を単振動としたとき単振動してないような気がすることです。
等速円運動をしている物体が単振動していると考えて合力を考えると、復元力のかたちにはなりません。
もうひとつ、等速円運動をしている物体の運動の向きによって物体にかかる合力が変化すると思います。
最後に左右に等速円運動をしていて物体は鉛直方向に重力をうけると考えると、他に物体にかかっているのは向心力だけで物体は鉛直方向にも運動すると思います。

以上のことで回答おねがいします

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ちょっと別の説明にしてみましょうか。

まず、ご質問文に
＞＞＞復元力はF=-mAsinwtω^2
と書かれていますが、正しくは、
Ｆ　＝　－ｍＡsinωｔ・ω^2
です。
あなたは、ｗとωを別の文字として書いていますが、
正しくは、どちらも同じωです。

さて、
高校では物理に微積分を使わないでしょうが、使ったほうが簡単なので、それで説明します。

Ｆ　＝　－ｍω^2Ａsinωｔ
という得体の知れない式が、一体どっから降って来たのかを説明します。

単振動は
ｘ　＝　Ａsin（ωｔ＋α）
と書くことができます。
ｘは、位置を表します。（振動の真ん中の位置がｘ＝０）

ｘをを時刻ｔで１回微分すると、速度ｖになります。
ｖ　＝　ｄｘ／ｄｔ　＝　ωＡcos（ωｔ＋α）

さらにｔで１回微分すると、加速度ａになります。
ａ　＝　ｄｖ／ｄｔ　＝　－ω^2・Ａsin（ωｔ＋α）

よって、運動方程式は、
Ｆ　＝　ｍａ　＝　－ｍω^2・Ａsin（ωｔ＋α）
となり、このＦが復元力だということです。

次に、等速円運動ですが、

円運動を真横から見ると、
ｘ　＝　Ａsin（ωｔ＋α）
という単振動に見えます。
また、
円運動を真下から見ると、
ｙ　＝　Ａcos（ωｔ＋α）
という単振動に見えます。

ですから、円運動というのは、
ｘ　＝　Ａsin（ωｔ＋α）
ｙ　＝　Ａcos（ωｔ＋α）
という、ｘ座標、ｙ座標を表す２つの式で表されます。
つまり、
（Ａsin（ωｔ＋α），　Ａcos（ωｔ＋α））
という成分で表されるベクトルなのです。

１回微分すれば、
Ｘ方向速度　＝　Ｖx　＝　ωＡcos（ωｔ＋α）
Ｙ方向速度　＝　Ｖy　＝　－ωＡsin（ωｔ＋α）
となります。
これも、Ｖx、Ｖyのうちの片方だけ見れば単振動と同じです。
速度ベクトルは、
（ωＡcos（ωｔ＋α），　－ωＡsin（ωｔ＋α））
です。

速さ（速度の絶対値）は、三平方の定理により
｜Ｖ｜　＝　√（Ｖx^2　＋　Ｖy^2）
　＝　√（ωＡcos（ωｔ＋α））^2＋（－ωＡsin（ωｔ＋α））^2）
　＝　｜ωＡ｜・√（cos（ωｔ＋α））^2＋（sin（ωｔ＋α））^2）
　＝　｜ωＡ｜・１
　＝　｜ωＡ｜
というわけで、ｔがない式になりました。
それが何を意味するかといえば、
「速さは時間によらず、一定である」
ということです。
それは、“等速”円運動であることを表しています。

今度は加速度です。
速度をｔで微分して、
Ｘ方向加速度　＝　ａx　＝　－ω^2・Ａsin（ωｔ＋α）
Ｙ方向加速度　＝　ａy　＝　－ω^2・Ａcos（ωｔ＋α）

ですから、運動方程式は、
Ｆx　＝　ｍａx　＝　－ｍω^2・Ａsin（ωｔ＋α）
Ｆy　＝　ｍａy　＝　－ｍω^2・Ａcos（ωｔ＋α）
となります。

ベクトルで書けば、
Ｆ→　＝　ｍ・ａ→
の１本だけです。

ベクトルの成分表示で書けば、
（Ｆx，Ｆy）＝（ｍａx，ｍａy）
　＝　（－ｍω^2・Ａsin（ωｔ＋α），　－ｍω^2・Ａcos（ωｔ＋α））
です。

加速度の大きさは、
｜ａ｜　＝　√（ａｘ^2　＋　ａ^y^2）
　＝　√（－ω^2・Ａsin（ωｔ＋α））^2　＋　（－ω^2・Ａcos（ωｔ＋α））^2）
　＝　｜ω^2・Ａ｜√（sin（ωｔ＋α））^2　＋　（cos（ωｔ＋α））^2）
　＝　｜ω^2・Ａ｜・１
　＝　｜ω^2・Ａ｜

ω^2・Ａ　って、どっかで見たことありませんか？
（普通、Ａの代わりに円の半径ｒを使って、ｒω^2　と書きます。）
つまり、ω^2・Ａ　に　ｍ　をかけたものは、
向心力や遠心力の大きさと同じです。

つまり、
ｇ　＝　ω^2・Ａ
であり、これが方程式となるのですが、
高校レベルでは、ｇ＝ω^2・Ａ　から逆算して（積分して）等速円運動の方程式を導き出すことはできないはずです。
（ずるで公式を使えば別ですが、それは邪道です。）
大学で習う微分方程式の世界になります。

ちなみに、
Ｘ方向加速度　＝　ａx　＝　－ω^2・Ａsin（ωｔ＋α）
Ｙ方向加速度　＝　ａy　＝　－ω^2・Ａcos（ωｔ＋α）
と
ｘ　＝　Ａsin（ωｔ＋α）
ｙ　＝　Ａcos（ωｔ＋α）
と見比べると、
ａx　＝　－ω^2・ｘ
ａy　＝　－ω^2・ｙ
となります。
両辺にｍをかければ、
ｍａx　＝　－ｍω^2・ｘ
ｍａy　＝　－ｍω^2・ｙ
となり、ｘとｙのどっちか片方の式だけ見れば、復元力の式と同じ形になります。

では、この辺で。

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補足

等速円運動をしている物体には重力そして向心力がかかっています。
そしてそれを単振動にします。
そうすると、合力F＝-ω^2Asinωtとなってました。
これは向心力の垂直成分の力です。
ということは重力がなくなったということです

ぼくがこだわっているのは合力を考えた場合です。
重力と向心力。この二つだと僕は思います。
何故こんなに合力にこだわるのかは、合力Ｆ＝-Ｋx(Ｋは正の定数)、xは位置、となれば単振動であるという表記があったからです。

回答No.1

naniwacchi

＞単振動は等速円運動の正射影にあたる運動である。と物理のエッセンスにかいていました。
＞これは単振動と等速円運動は違うものだということでしょうか？

書かれているとおりです。
1)まず、単振動と等速円運動は違うものです。
一番端的な表現だと、単振動は一直線上の運動を論じているのに対し、等速円運動は円周上の運動を論じています。
運動そのものが違います。

2)単振動は等速円運動の正射影にあたる運動である。についてですが、
別物であるとは言え、深い関係はあるということです。
正射影というのは、光を当てて影を映していると想像して下さい。

＞等速円運動での復元力はどいうったものなのでしょう？
等速円運動で働いている力は、向心力です。
この向心力についても、射影をとると復元力としてみることができます。

教科書で必ず説明されるところですので、図を捜して確認してみて下さい。

お礼

ありがとうございました
やっと理解できました。

またよろしくおねがいします

補足

等速円運動をしている物体には重力そして向心力がかかっています。
そしてそれを単振動にします。
そうすると、合力F＝-ω^2Asinωtとなってました。
これは向心力の垂直成分の力です。
ということは重力がなくなったということです

意味がわからないです。
ぼくがわからないのはここです