ＣＲ時定数をラプラス変換する

質問

以前にも同じような質問がありますが、
再度質問します。
電圧源Eがあり、E--R--(r//c)-GND　の回路を
ラプラス変換を使って解く方法を教えてください。
テブナンの定理を使い、簡単に解く方法もあるかと思いますが、
使わずに、そのまま微分方程式からのラプラス変換法が
分かりません。教えてください。

回答No.1

inara1

前の質問（http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4432261.html）がずいぶん古いのですが、これは学校の課題でなく、独学で勉強されているのでしょうか。

　　　 i →
　　─ R ─┬──┐v
　↑　　　　 │ i1　 │
　E　　　　　 r　↓　 C ↓i2
　│　　　　 │　　　│
　────┴──┘GND

抵抗 R に流れる電流を i 、抵抗 r に流れる電流を i1、コンデンサ C に流れる電流を i2 とします。コンデンサ C の電圧を v とします。するとそれぞれの電流は
　　　i = ( E - v )/R --- (1)
　　　i1 = v/r　　　　--- (2)
　　　i2 = C*dv/dt　--- (3)
で表わされます。電流は節点（分岐点）で連続していなければならないので
　　　i = i1 + i2 --- (4)
です。式(1), (2), (3)を式(4)に代入して整理すると
　　　( E - v )/R = v/r + C*dv/dt
　　　→ dv/dt + (1/C)*( 1/R + 1/r )*v - E/(C*R) = 0 --- (5)
これが v に関する微分方程式です。

v のラプラス変換を V と書けば dv/dt のラプラス変換は、教科書に出ているように
　　　s*V - v(0)
となります。v(0) はt = 0 での v の値です。式(５）の第二項 (1/C)*( 1/R + 1/r )*v のラプラス変換は
　　　(1/C)*( 1/R + 1/r )*V
です。電圧 E の時間変化がステップ関数的な変化（ t < 0のとき 0、t ≧ のとき E ）であれば、ステップ関数のラプラス変換は 1/s なので、E/(C*R) のラプラス変換は
　　　E/(C*R*s)
したがって式(5)のラプラス変換は
　　　s*V - v(0) + (1/C)*( 1/R + 1/r )*V - E/(C*R*s) = 0
これを V について解くと
　　　V = { v(0) + E/(C*R*s) }/{ s + (1/C)*( 1/R + 1/r ) }
　　　　= { v(0)*s + E/(C*R) }/[ s*{ s + (1/C)*( 1/R + 1/r ) } ] --- (6)
これを逆ラプラス変換すれば v が求められますが、このままでは変換しにくいので、上式を
　　　V = a/s + b/*{ s + (1/C)*( 1/R + 1/r ) } --- (7)
の形に直します。式(7)は
　　　V = [ a*{ s + (1/C)*( 1/R + 1/r ) } + b*s ]/[ s*{ s + (1/C)*( 1/R + 1/r ) } ]
　　　　= { (a + b )*s + a*(1/C)*( 1/R + 1/r ) }/[ s*{ s + (1/C)*( 1/R + 1/r ) } ] --- (8)
なので、式(6)と式(8)が等しい条件は
　　　a + b = v(0) --- (9)
　　　a*(1/C)*( 1/R + 1/r ) = E/(C*R) --- (10)
になります。式(10)から
　　　a = E/( 1 + R/r )
これを式(9)に代入して b を求めると
　　　b = v(0) - a = v(0) - E/( 1 + R/r )
したがって
　　　V = E/( 1 + R/r )/s + { v(0) - E/( 1 + R/r ) }/{ s + (1/C)*( 1/R + 1/r ) } --- (11)
となります。 1/s の逆ラプラス変換は 1、1/( s + 定数 ) の逆ラプラス変換は exp( - 定数*t ) だから、式(11)の逆ラプラス変換は
　　　ｖ = E/( 1 + R/r ) + { v(0) - E/( 1 + R/r ) }*exp{ - (1/C)*( 1/R + 1/r )*t } --- (12)
となります。これが v の時間変化（微分方程式の解）です。

t = 0 のとき exp{ - (1/C)*( 1/R + 1/r )*t } = 1 なので
　　　v = E/( 1 + R/r ) + { v(0) - E/( 1 + R/r ) } = v(0)
となります。v(0) は t=0 のときの v と決めたのでこうなって当然です。t が大きくなるほど exp{ - (1/C)*( 1/R + 1/r )*t } は0 に近づいていくので、最終的には（t → ∞のとき） v → E/( 1 + R/r ) になります。これは C がないときの v の値です。

v の変化が exp( -t/τ ) で表わされるとき、τを時定数といいます。式(12)の exp の項を見れば
　　　1/τ = (1/C)*( 1/R + 1/r )
　　　　→ τ = C/( 1/R + 1/r )
となります。R と r の並列抵抗を Rp とすれば
　　　1/Rp = 1/R + 1/r
なので
　　　τ = C*Rp
となります。

お礼

返信ありがとうございます。

電験を受けようと思い勉強しています。
丁寧な回答ありがとうございます。
参考にさせていただきます。