回路の過渡応答 微分方程式とラプラス変換

質問

回路方程式　dv/dt = r di/dt + (1 + r/R)i/C - v/(C R)

∴　di/dt + (1 + r/R)i/(C r) = {dv/dt + v/(C R)}/r

この微分方程式をラプラス変換して逆変換するとどのようになりますか？

途中経過も含めて教えていただけると助かります。

よろしくお願いいたします。

回答No.2

drmuraberg · ベストアンサー

v一定ならdv/dt=0ですから、微粉方程式は次の様になりラプラス変換で解けます。

di/dt+αi=βv
ここに
α=(R+r)/(CRr), β=1/(CRr)

このラプラス変換は
sI(s)-i(0)+αI(s)=βv/s (L[1]=1/sに注意)

多分i(0)=0でしょうから、以下はその時。
I(s)(s+α)=βv/s

I(s)=βv/{s(s+α)}=(v/(R+r)){1/s-1/(s+α)}

逆変換すると
i(t)=v/(R+r)*{1-exp(-αt)}
となります。

i(0)が0で無い時はちょっと複雑になりますが、同じ手順で解けます。

回答No.1

drmuraberg

i(t)の初期条件をi(0)としラプラス変換をI(s)、
v(t)の初期条件をi(0)としラプラス変換をI(s)とする。

di/dt + (1 + r/R)i/(C r) = {dv/dt + v/(C R)}/r
を
形式的に変換すると

sI(s)-i(0)+I(s)(1+r/R)/Cr={sV(s)-v(0)+V(s)/(CR)}/r

I(s),V(s)に付いてまとめると
I(s){1+(1+r/R)/Cr}-i(0)=V(s){s+1/(CR)}/r-v(0)/r

ここまでです、これ以上進めません。お手上げです。

多分、初期条件i(0)=v(0)=0でも有って、
I(s){1+(1+r/R)/Cr}=V(s){s+1/(CR)}/r

多分、伝達関数G(s)=V(s)/I(s)でも有って
G(s)={1+(1+r/R)/Cr}/{(s+1/(CR))/r}
= r+(1/C){1/(s+1/(CR))}

多分、これをラプラス逆変換して伝達関数g(t)を求めると言う問題ではないでしょうか？

補足

di/dt + (1 + r/R)i/(C r) = {v + v/(C R)}/r

vが一定(時間の関数でない)とした場合、どのようになりますでしょうか？

教えていただきたく、お願いします。