ラプラス変換法について（微分方程式）

解き方はnubouさんのおっしゃる通りですので、やや蛇足になりますが私は文章での補足説明をば。

Laplace変換は微分方程式の代数的解法の一つです。ある微分方程式が与えられた場合、それを直接解かずにいったん普通の方程式に変換(Laplace変換)して解き、それを再度変換して関数に戻し解を得ます。これは例えばあるかけ算をする時に、直接掛けずにいったん対数に変換してから足し算を行い、対数表(今は関数電卓でやるでしょうけど)で元に戻して積の真数表示を得るのに似ています。
このほか微分方程式を解く場合に意外と厄介な初期条件の検討を、方程式を解くのと同時に行えてしまうというメリットもあります。

Laplace変換Lは、nubouさんのおっしゃる両側Laplace変換のほかに片側Laplace変換があります。
これは1価関数f(t)があったとき
　　　　∞
L[F(x)]=∫F(t) exp(-st) dt
　　　 0
などと定義され、F(s)などと表示されます。f(t)を「表関数」、F(s)を「裏関数」などと呼ぶこともあります。
実際にはこの変換を行うことはほとんどなく、代表的な関数(ステップ関数、t^n、三角関数、指数関数など)については変換したものが表(Laplace変換表)として用意されていますので、機械的に置き換えるだけです。
具体的な解き方はnubouさんの回答を参考にされて下さい。まずLaplace変換を行い、これを代数的に処理(部分分数に展開)し、それを逆変換して表関数に戻します。表関数に戻す時もLaplace変換表を用います。

文献はどのようなものを紹介したらよいでしょうか(といっても、勿体をつける程は知らないのですが)。例えば、具体的なLaplace変換のやり方といくつかの例に対しての解法の説明でしたら、大学3,4年程度の微分方程式の参考書をいくつか探せば出てきますよ。

参考URLにはLaplace変換表を付けておきます。

両側変換表：
Ｌ（ａ・ｆ（ｔ）＋ｂ・ｇ（ｔ））（ｓ）＝ａ・Ｌ（ｆ（ｔ））（ｓ）＋ｂ・Ｌ（ｇ（ｔ））（ｓ）
Ｌ（ｇ’（ｔ））（ｓ）＝ｓ・Ｌ（ｇ（ｔ））（ｓ）
Ｌ（∫（－∞＜τ＜ｔ）ｄτ・ｇ（τ））（ｓ）＝Ｌ（ｇ（ｔ））（ｓ）／ｓ
Ｌ（∫（－∞＜τ＜∞）ｄτ・ｆ（τ）・ｇ（ｔ－τ））（ｓ）＝Ｌ（ｆ（ｔ））（ｓ）・Ｌ（ｇ（ｔ））（ｓ）
Ｌ（ｇ（ｔ－ａ））（ｓ）＝ｅｘｐ（－ａ・ｓ）・Ｌ（ｇ（ｔ））（ｓ）
Ｌ（ｇ（ｔ）・ｅｘｐ（－ａ・ｔ））（ｓ）＝Ｌ（ｇ（ｔ））（ｓ＋ａ）
Ｌ（ｈ（ｔ）・ｔ＾α）（ｓ）＝Γ（α＋１）／ｓ＾（α＋１）
Ｌ（ｈ（ｔ）・ｃｏｓ（ω・ｔ））（ｓ）＝ｓ／（ｓ＾２＋ω＾２）
Ｌ（ｈ（ｔ）・ｓｉｎ（ω・ｔ））（ｓ）＝ω／（ｓ＾２＋ω＾２）

片側ラプラス変換と違って両側ラプラス変換はこれだけでｏｋです
簡単ですね

Ｌ（δ（ｔ））（ｓ）＝１

重大なミスが有りましたので報告します
（ｈ（ｔ）・ｇ（ｔ））’＝δ（ｔ）・ｇ（ｔ）＋ｈ（ｔ）・ｇ’（ｔ）
はいいのですが
（ｈ（ｔ）・ｇ（ｔ））”＝（δ（ｔ）・ｇ（ｔ）＋ｈ（ｔ）・ｇ’（ｔ））’
＝δ’（ｔ）・ｇ（ｔ）＋２・δ（ｔ）・ｇ’（ｔ）＋ｈ（ｔ）・ｇ”（ｔ）
は間違いです
正しくは
（ｈ（ｔ）・ｇ（ｔ））”＝（δ（ｔ）・ｇ（０）＋ｈ（ｔ）・ｇ’（ｔ））’
＝δ’（ｔ）・ｇ（０）＋δ（ｔ）・ｇ’（ｔ）＋ｈ（ｔ）・ｇ”（ｔ）
＝δ’（ｔ）・ｇ（０）＋δ（ｔ）・ｇ’（０）＋ｈ（ｔ）・ｇ”（ｔ）
です
つまり
δ（ｔ）・ｇ（ｔ）＝δ（ｔ）・ｇ（０）
ですから
（δ（ｔ）・ｇ（ｔ））’＝δ’（ｔ）・ｇ（ｔ）＋δ（ｔ）・ｇ’（ｔ）
ではなく
（δ（ｔ）・ｇ（ｔ））’＝（δ（ｔ）・ｇ（０））’＝δ’（ｔ）・ｇ（０）
なのです

以上を元にＮｏ．１を修正します

微分方程式：ｘ”（ｔ）＋ａ・ｘ’（ｔ）＋ｂ・ｘ（ｔ）＝ｇ（ｘ）・・・（１）
初期条件：ｘ（０）＝α，ｘ’（０）＝β
を解いてみましょう

ｈ（ｔ）・ｘ（ｔ）の両側ラプラス変換をＬ（ｈ（ｔ）・ｘ（ｔ））（ｓ）≡Ｘ（ｓ）とし
ｈ（ｔ）・ｇ（ｔ）の両側ラプラス変換をＬ（ｈ（ｔ）・ｇ（ｔ））（ｓ）≡Ｇ（ｓ）とする
（ｈ（ｔ）・ｘ（ｔ））’＝δ（ｔ）・ｘ（０）＋ｈ（ｔ）・ｘ’（ｔ）
であるから
ｓ・Ｌ（ｈ（ｔ）・ｘ（ｔ））＝ｘ（０）＋Ｌ（ｈ（ｔ）・ｘ’（ｔ））
∴Ｌ（ｈ（ｔ）・ｘ’（ｔ））＝ｓ・Ｘ（ｓ）－α
（ｈ（ｔ）・ｘ（ｔ））”＝（δ（ｔ）・ｘ（０）＋ｈ（ｔ）・ｘ’（ｔ））’
＝δ’（ｔ）・ｘ（０）＋δ（ｔ）・ｘ’（０）＋ｈ（ｔ）・ｘ”（ｔ）
であるから
ｓ＾２・Ｌ（ｈ（ｔ）・ｘ（ｔ））（ｓ）＝ｓ・ｘ（０）＋ｘ’（０）＋Ｌ（ｈ（ｔ）・ｘ”（ｔ））（ｓ）
∴Ｌ（ｈ（ｔ）・ｘ”（ｔ））（ｓ）＝ｓ＾２・Ｘ（ｓ）－ｓ・α－β
（１）式の両辺にｈ（ｔ）をかけて両側ラプラス変換をすると
Ｌ（ｈ（ｔ）・ｘ”（ｔ））（ｓ）＋ａ・Ｌ（ｈ（ｔ）・ｘ’（ｔ））（ｓ）＋ｂ・Ｌ（ｈ（ｔ）・ｘ（ｔ））（ｓ）
＝Ｌ（ｈ（ｔ）・ｇ（ｔ））（ｓ）
すなわち
（ｓ＾２＋ａ・ｓ＋ｂ）・Ｘ（ｓ）＝ｓ・α＋β＋ａ・α＋Ｇ（ｓ）
∴Ｘ（ｓ）≡
（ｓ・α＋β＋ａ・α）／（ｓ＾２＋ａ・ｓ＋ｂ）＋Ｇ（ｓ）／（ｓ＾２＋ａ・ｓ＋ｂ）
このあと部分分数展開と両側ラプラス変換表からｘ（ｔ）を求める