微分方程式をラプラス変換を用いて解いている途中の部分分数展開がどうして

質問

微分方程式をラプラス変換を用いて解いている途中の部分分数展開がどうしても解けません。
As/(s^2+Ω^2)(s+k)です。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

As/((s^2+Ω^2)(s+k))=a/(s+k) +bs/(s^2+Ω^2) +cΩ/(s^2+Ω^2)…(★)
と部分分数展開できれば直ちにラプラス変換表を使って
逆ラプラス変換
ae^(-kt) +bcos(Ωt) +csin(Ωt)
が求まりますね。

a,b,cは（★）の両辺に(s^2+Ω^2)(s+k)をかけて、左辺、右辺を多項式に展開してsの恒等式条件を使って、各次の係数を比較して連立方程式を解けば（未定係数法）a,b,cが求められます。
また以下のようにしても求められます。

a={As/((s^2+Ω^2)(s+k))}*(s+k) [s→-k]
={As/(s^2+Ω^2)} [s→-k]
=-Ak/(k^2+Ω^2)
bs+cΩ={As/((s^2+Ω^2)(s+k))}*(s^2+Ω^2) [s→jΩ]
jbΩ+cΩ=AjΩ/(k+jΩ)
=AjΩ(k-jΩ)/(k^2+Ω^2)=AΩ(Ω+jk)/(k^2+Ω^2)
実部と虚部を比較して
b=Ak/(k^2+Ω^2), c=AΩ/(k^2+Ω^2)
と係数a,b,cが求まります。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

Ae610

As/(s^2+Ω^2)(s+k)

取り敢えずAは置いといて・・・、
s/(s^2+Ω^2)(s+k) = (as+b)/(s^2+Ω^2) + c/(s+k)
となるように係数比較してa,b,cを決める！

お礼

ありがとうございました。無事解くことができました。でもなんで右辺の分子をａｓ＋ｂとｃという風に置いたのですか？