ラウスの安定判別についてなのですが・・・

質問

すみませんm(_ _)m

あの、制御系の教科書の問題を解いていてどうしてもその答えに納得できなくて

なんでそうなるのか、あるいは教科書の答えが間違っているのか

お手数をおかけしますが、どなたか教えてくださいませんか？

問題は、”次の特性方程式が与えられている時、ラウスの安定判別表を用いて、安定であるためのεの範囲を求めろ”というものです。

　s^4+5s^3+3s^2+(2+ε)s+1=0

　教科書の答えは、　0<ε<(11+5√5)/2 で、

　僕が解いた答えは　　-2<ε<(11+5√5)/2　　なのです。

　　特性方程式の係数が正であるとこと、表の第一列の値がすべて正であることが条件なのはわかっているのですが、どこにも、０以上という条件が出てこないのです。

　長くなりましたが、どなたか助けてください

回答No.2

sinisorsa · ベストアンサー

ラウス法と等価なフールビッツ法で確かめてみました。
結果としては、

　　　(11-5√5)/2<ε<(11+5√5)/2　

となりました。
下限の値　(11-5√5)/2≒-0.0901699
となりますから、これを近似的に0と見做せば、

　　　0<ε<(11+5√5)/2

なお、フールビッツの条件判定式は以下の通りです。
(1)係数はすべて正
(2)Ｄ１＝a1＝5>0
(3)D2＝行列式｜5,2+ε；1,3｜＝15-(2+ε)＞0
(4)D3＝行列式｜5,2+ε,0;1,3,1;0,5,2+ε|
= 15(2+ε)-(2+ε)^2-25>0

(1)から、　ε>-2
(3)からは、ε<13
(4)からは、
　　　(11-5√5)/2<ε<(11+5√5)/2　
が出ます。

回答No.1

noname#101087

P(s) = s^4 + 5s^3 + 3s^2 + (2+ε)s + 1　とします。

>教科書の答えは、　0<ε<(11+5√5)/2 で、
>僕が解いた答えは　　-2<ε<(11+5√5)/2　　なのです。

Routh のスキルもってないので、結果比較のみ。

P(s) の虚軸上での偏角が単調増大、という判定をしてみると、
　(11-5√5)/2 <ε< (11+5√5)/2
になりました。
ちなみに、(11-5√5)/2 < 0 です。