• ベストアンサー

大学受験で四次方程式の解と係数の関係は使える?

はじめまして。 大学入試では答えだけではなく数学は考え方を記述させ、それを採点しますよね。 2次方程式、3次方程式の解と係数の関係は教科書にも載っているので、それを考え方として示しても問題は無いと思うのですが・・・ 最近4次方程式にも解と係数の関係があることを知りました。 これがあれば問題などを楽に解くことができるとおもうのですが、これは入試の際の考え方として記載してもいいのでしょうか? それとも大学入試では使えず、あくまで検算として使用するに留めたほうがいいのでしょうか?

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • naniwacchi
  • ベストアンサー率47% (942/1970)
回答No.3

こんにちわ。 わたしは「用いない方が無難」だと思います。 #1さんが書かれているように、恒等式の係数比較として論じる方が素直です。 1分1秒が大事なのはわかります。 しかし、そのために「論理展開がお粗末」になってしまうと本末転倒です。 たとえば、 --------------------------------------------------------- 4次方程式の解をα,β,γ,δとすると、左辺は ax^4+ bx^3+ cx^2+ dx+ e= a(x-α)(x-β)(x-γ)(x-δ) と表すことができる。係数比較より・・・ --------------------------------------------------------- と記述すれば十分伝わるとは思います。 (事実上、解と係数の関係を用いている)

その他の回答 (4)

回答No.5

補足しておく。 大学入試の採点者は、その道のプロ。 何が大事で、何が枝葉かは、当然解ってる。 論理さえ正しければ計算違いをしても高得点を望めるが、例え答えが合ってても論理が間違いなら0点になる。 証明なしに4次方程式の解と係数を使う使わないという事は、問題の本質ではない。 先ほど書いたとおり、「4次方程式の解と係数より」と書い解けば良い。 高校数学を超えているロピタルやパツプス・ギュルダンを使うわけではない。 つまらない事を気にせず、先ず正しい論理で問題が解けることに全力を尽くしたら良い。 仮に、減点されてもほんのわずかの点数だろう。。。。。減点されないと思うが。

回答No.4

4次方程式の解と係数そのものを示せ、という問題でない限り、「4次方程式の解と係数より」と書いとけば事が足りる。 ロピタルを使うわけじゃない、その程度は許容範囲と考えて良い。

  • ID10T5
  • ベストアンサー率31% (732/2313)
回答No.2

出題者は4次方程式の解と係数の関係を問うているわけではないのでしょう? どうしてそういう答えが出たのかを説明する必要があるときに、「4次方程式の解と係数の関係から」などと説明して意味があると思いますか? ボクはないと思いますね。過程の説明が不十分な答案として採点としてはかなり低くなると思います。

  • rinkun
  • ベストアンサー率44% (706/1571)
回答No.1

記述式なら回答の中で証明してしまえば良いでしょう。 解と係数の関係は例えば x^2+ax+b=(x-α)(x-β)=x^2-(α+β)x+αβ から a=-(α+β) b=αβ のように恒等式の係数比較で求められます。4次でも同様です。 これだと高校レベルで、大学入試でも使えると思います。

raionzumanshon
質問者

補足

言葉が足りなく、申し訳ございません。 4次方程式を提示した上で、「ここで、解と係数の関係から」 という但し書きだけで使用することができるのかということです。 受験では1分1秒も大事だと聞いているので、その証明の時間を「ここで、解と係数の関係から」という但し書きだけで補えるのだろうかという疑問でした。

関連するQ&A

  • 解と係数の関係

    高校数学の教科書では、 普通、2次方程式の解と係数の関係は載っていますよね。 ところが、3次以上の高次方程式に関しても、 解と係数の関係があると聞いたような気がするのですが、 どなたか、知ってる方いらっしゃいませんか? 教えてくださいm(_ _)m

  • 解と係数の関係について

    中学数学での質問です。 2次方程式の解と係数の関係で質問です。 この関係において α+β=-b/a αβ=c/a が成り立ちますよね。 そして、問題の回答に 解と係数の関係により α+β=-a が成り立つので。 と書いてあるのですが、なぜ成り立つのかが分かりません。 教えてください。

  • 解と係数の関係を使うの?

    係数や定数項にkが入ったxの二次方程式がふたつあって、 このふたつの方程式が共通の解を持つようなkの値を求めよ、っていう問題なんですが 片方の方程式の解をα、βとおき、もう片方の二解をα、γとおいて文字四つで式4つ作ったけど、 4元の連立、解くのがやたら面倒くさかったです。 だいたい、いまどきの数Iでは解と係数の関係って習うんでしたっけ? もっと他にスマートというか、定番の解き方があったら教えてください。

  • 解と係数の関係

    二次方程式 x^2+2(a-5)x+5a=0の2つの解のうち、ひとつが他方の3倍のとき、aの値と解ともとめよ。 という問題なのですが、解と係数の関係をつかってαを3βとして、α+β=4βと考えて解こうと思ったのですが、うまくいきません。どなたかアドバイスいただけませんか?

  • 2次方程式の解と係数の関係の応用について

    2次方程式の解と係数の関係を使って、 1/α、1/β を出すにはどうすればいいのでしょうか? α+β/αβ でOKですか?

  • 解と係数の関係

    3次方程式の解と係数の関係ってどのようなものですか?

  • 2次方程式。解と係数の関係の問題

    「2次方程式x^2+ax+b=0が0でない解α、Βをもち、α^2+Β^2=3、1/α+1/Β=1が 成り立つとき、実数a、bの値を求めよ」という問題ですが、 解と係数の関係より、α+Β=-a、αΒ=b よって、α^2+Β^2=(α+Β)^2-2αΒ=a^2-2b=3 1/α+1/Β=(α+Β)/αΒ=-a/b=1より、(a、b)=(-3、3)、(1、-1)と計算できます。 答えも(a、b)=(-3、3)、(1、-1)となっていますが、 実際に(a、b)を使ってできる2次方程式は、 x^2-3x+3=0・・・・・(1)、x^2+x-1=0・・・・・(2)の2つで、 (1)について解くとx=(3±√-3)/2、(2)ついて解くとx=(-1±√5)/2となり、(1)が虚数解と なりますが、問題で、0でない実数解α、Βをもつとなっているので、虚数解でも問題ないとのこと でしょうか? ちなみに、(1)の解だと1/α+1/Β=1は成り立ちません。 α=3+√-3、Β=3-√-3とおいて、 1/(3+√-3)/2+1/(3-√-3)/2=2/(3+√-3)+2/(3-√-3)(有理化?)して (2(3-√-3)+2(3+√-3))/(3-√-3)(3+√-3)=(6+6)/(9-3)=2で成り立ちません。 出展:武蔵工大

  • 2次方程式 解と係数の関係の問題です。

    よろしくお願いします。 問題 2次方程式、4x二乗+mx+3=0の一つの解が他の解に1加えた数となるように、定数mの値を求めよ。 という問題です。 二つの解をaとa+1とおいて、 解と係数の関係から、 a+(a+1)=-m/4 a×(a+1)=3/4 という式を立ててみたのですが、 この考え方でよいのでしょうか? できましたら、正しい解き方を教えていただけないでしょうか? よろしくお願いします。

  • 3次方程式と解と係数の問題

    3次方程式の解と係数の問題です。 問題 X^3ー2X^2ーX+3の3つの解をα、β、γと するとき、α+β、β+γ、γ+αを解とする 3次方程式を1つ作りなさい。 という問題です。分からなくなってしまいました。 教えて下さい!途中式など詳しくお願いします!

  • 解と係数の関係について

    s^2 + t^2 =1のとき(t > 0とします) xの2次方程式 (1 + t^2)x^2 -2sx + (1-2t^2) =0 で判別式D=4s^2 -4(1+t^2)(1-2t^2)=2t^4 >0より2解が存在して で、このxの方程式の2解をα、βとして(α<β) α=(s-√2t^2)/(1+t^2) β=(s+√2t^2)/(1+t^2) より、β-α =2√2/(1+t^2) になると解答に記載されていて、これは理解できるのですが、 ここで解と係数の関係から、α+β=2s/(1+t^2)、αβ=(1-2t^2)/(1+t^2) ここで(β-α)^2 = (β-α)^2-4βαを計算して、β-αを求めるたのですが、値が違います。 解と係数の関係から求めた、αβ=(1-2t^2)/(1+t^2)の値と、普通に解の公式から、 求めたαβの積=(s^2-2t^4)/(1+t^2)^2と違っています。 この原因がわかりません、なんで「解の公式」から出した値と「解と係数の関係」から出した値が違うのですか?