三角関数の定積分の定義域

質問

∫[0,2π]sin^2x・cosxdx
という定積分についてなんですが、
t=sinx　とおいたときのtの定義域は
sin0=0,sin2π=0
なので[0,0]となるのか、
それともsinxの最大値、最小値をとって
[-1,1]となるのか、
どちらになるのでしょうか？

回答No.4

info22 · ベストアンサー

>そのやり方で解くと答えが0となりました。
なので、
sin^2(x)*cos(x)は周期2πの偶関数であり
sin^2(x)*cos(x)＝(1/4){cos(x)-cos(3x)}
と変形でき
cos(x)は周期2π、cos(3x)は周期2π/3なので
被積分関数全体を区間[0,2π]で積分すれば積分結果がゼロになるのは明らかですね。

グラフを描いてみましたので添付します。青の面積と赤の面積は等しく積分では符号が逆になり±打ち消しますので積分がゼロになることを裏付けています。

>sinx=t とおいたときのtの定義域は
>[0,0]とすればよいのだと分かりました。
これをすれば完全に「×」になります。

sinx=tのような置換が可能なのは、tとxが互いに一価関数であるときに限られます。たとえばt=1/2に対して積分範囲内に対応するxが4個存在します（多価関数）。つまり、xがtの一価関数になっていませんので置換が不可能ということです。置換できるのはxとtが互いに一価関数となるxの範囲内に積分範囲が収まっている場合に限られます。

お礼

詳しい解説をありがとうございます。
この区間での積分はtの値に対してxの値が2個以上存在するのため
置換できないので、三倍角の公式で解くのが賢明と言うことですね。
分かりました。
三角関数の置換は積分範囲に注意が必要ですね。

回答No.6

hugen

∫[0,2π]sin^2x・cosxdx
＝
[(1/3)(sinx)^3](0,2π)
＝
(1/3)(sin2π)^3-(1/3)(sin0)^3
＝
[(1/3)t^3](sin0,sin2π)
＝
∫[sin0,sin2π]t^2dt

回答No.5

mister_moonlight

oh、ミステイク。　＃2は無視して。Ｗ

回答No.3

proto

まぁ、これくらいなら置換せずに解けた方が良いとは思いますが、
　　cos(x)*(sin(x))^2 = (sin(x))'*(sin(x))^2
より
　　∫{cos(x)*(sin(x))^2}dx = (1/3)*(sin(x))^3 +C
右辺の(1/3)*(sin(x))^3にx=0,x=2πを代入して差分を取ることにより、この積分が0になることがわかります。

置換する場合にしても、積分範囲の変換の仕方は、その他の置換積分の場合と同じです。

＞それともsinxの最大値、最小値をとって
＞[-1,1]となるのか
こんなことは教科書には書いていないはず。

基本に返って置換積分を素直に実行すれば、
＞sin0=0,sin2π=0
＞なので[0,0]となるのか
こちらが正しいことは分かるはず。
まぁ、積分範囲が[0,0]となってしまうのではじめはとまどうかも知れないが。
だとしても基本的な規則から外れる理由は無いだろう。

回答No.2

mister_moonlight

＞そのやり方で解くと答えが0となりました。なので、sinx=t とおいたときのtの定義域は[0,0]とすればよいのだと分かりました

冗談がきついね。

sin^2x・cosx＝（1/4）*{cosx-cos（3x）}だから、(1/4)*∫[0,2π]）{cosx-cos（3x）}dx を計算するんだよ。

回答No.1

mister_moonlight

そんな事をする必要もないのに。

sin^2x・cosx＝（1-cos＾2x）*cosx＝cosx-cos＾3x。‥‥(1)
3倍角の公式より、cos（3x）＝4cos＾3x-3cosx　‥‥(2)
従って、(2)を(1)に代入して、sin^2x・cosx＝（1/4）*{cosx-cos（3x）}を定積分すれば良い。

計算は自信なし、チェックしてね。

お礼

そのやり方で解くと答えが0となりました。
なので、
sinx=t とおいたときのtの定義域は
[0,0]とすればよいのだと分かりました。
ありがとうございます。