微分方程式

質問

y(1-(dy/dx)^2)=2x(dy/dx)
という方程式を解きたいのですが良い方法が思い付きません。

ヒントでも何でも良いので教えていただけるとありがたいです。

回答No.3

Mr_Holland · ベストアンサー

＃２です。
　ごめんなさい。積分定数で混乱していました。
　下記の通り、訂正させてください。

＞　（１）は変数分離でそのまま解けば、ｐ＝Ｄ／ｙ　となり、ｐ＝ｄｙ／ｄｘ　と戻してさらに変数分離で解くと、ｙ^2＝ａｘ＋ｂ　という解を得ます。
（正）・・・くと、ｘ＝aｙ^2＋ｂ　という解を得ます。

＞　　x＝－ay^2-1/(4a)　　（ただし、ａは積分定数）
（正）　x＝ay^2-1/(4a)　　（ただし、ａは積分定数）

回答No.2

Mr_Holland

＃１さんの（１）は、y(dp/dy)=-p　の誤記のように思います。
　（なぜならば、y(dp/dy)(1+1/p^2)=-p(1+1/p^2)　）

　（２）の　1+1/p^2=0　は実数関数では当然成立しませんので割愛しますと、（１）のケースだけ考えればよいことになります。
　（ちなみに、複素関数も含めるならば、ｙ＝±ｉｘ＋Ｃになります。）

　（１）は変数分離でそのまま解けば、ｐ＝Ｄ／ｙ　となり、ｐ＝ｄｙ／ｄｘ　と戻してさらに変数分離で解くと、ｙ^2＝ａｘ＋ｂ　という解を得ます。
　この解を元の微分方程式に代入して積分定数ａ，ｂを1つ減らしますと、　ｙ’＝１／（２ａｙ）　から
　　ｂ＝－１／（４ａ）
となります。
　従って、解は次の関数になります。

　　x＝－ay^2-1/(4a)　　（ただし、ａは積分定数）

お礼

>元の微分方程式に代入して積分定数ａ，ｂを1つ減らしますと、
これは、y(1-(dy/dx)^2)=2x(dy/dx)にｙ^2＝ａｘ＋ｂを代入するということですか?

>ｙ’＝１／（２ａｙ）　から
また、ｙ^2＝ａｘ＋ｂをxで両辺を微分しても(dy/dx)=a/(2y)となり、この式は出てこないのですが、これはどこから求めたのでしょうか?

補足

ぁ、x=0を代入した場合について解くと、確かに積分定数を一つ消去できました。
どうも有り難うございました。

回答No.1

noname#99303

dy/dx=pとおくと問題の式は
y=2xp/(1-p^2)
これを2xについて解くと
2x=y(1/p-p)　　　（1）
yがｘのみの関数の時はxはｙのみの関数でx=x(y)と書くことができる。このときdx/dy=1/(dy/dx)=1/p, pもyの関数と考える。
（1）の両辺をｙで微分すると
2/p=(1/p-p)+y(-dp/dy/p^2-dp/dy)
整理すると
y(dp/dy)(1+1/p^2)=p(1+1/p^2)
よって
(1) y(dp/dy)=p
(2) 1+1/p^2=0
の2つの場合がある。QED

お礼

解答有り難うございます