積分の問題です。よろしくお願いします。

質問

「f(x)=x^3-(2m+1)x^2+m^2xとし、m は正の定数とする。方程式 f(x)=0 は相異なる２つの正の実数解 (α,β(α<β) とする)をもつことを示しなさい。また、曲線 y=f(x) とx軸で囲まれた図形について、y>=0 の範囲の部分と、y<=0 の範囲の部分の面積が等しいとき、m、α、β の値を求めなさい。」この問題がわかりません。
f(x)=x^3-(2m+1)x^2+m^2x
=x{x^2-(2m+1)x+m^2}
f(x)=0 は異なる２つの正の実数解 α,β(α<β) をもつ
f(x)=0 は x=0 または x^2-(2m+1)+m^2=0
x^2-(2m+1)x+m^2=0 判別式は D=(2m+1)^2-4m^2
=4m+1>0 ・・・(1)(∵m は整数)
α+β=(2m+1)>0 ・・・(2)　
　　　　　　　　　　　　αβ=m^2>0 ・・・(3)
(1)、(2)、(3)より f(x)=0 は２つの正の実数解をもつ
問いの条件より
　-∫[α,β]f(x)=∫[0,α]f(x)　
ここまでは解きましたが、この先がわかりません。（積分の表示の仕方がよく解りません。）

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

＞この先がわかりません。

計算すると、βの2次方程式になるから、そこにα+β＝2m+1、αβ＝m^2を代入してmを消すと、β＝2αになる。
後は、α+β＝3α＝2m+1、αβ＝2α＾2＝m^2からm＞0に注意すれば、求まるだろう。

お礼

回答ありがとうございました。理解する事が出来ました。

回答No.1

Kules

-∫[α,β]f(x)=∫[0,α]f(x)　
を移項すると
∫[0,β]=0となるのでそこからβ、mに関する式ができるので、
(2),(3)と連立させると文字３つ式３つなので解けそうな気がします。
確認してないですけど(><)

補足

回答ありがとうございました。
1/4β^4-1/3(2m+1)β^3+1/2m^2β^2=0
α+β=2m+1
αβ=m^2
文字３つ式３つで解くといつもドツボにはまり、とききれなくなります
違う方法はありますか。