【問題】mを実数の定数とし、2次方程式x^2-(m+2)x+3m+3=

質問

【問題】mを実数の定数とし、2次方程式x^2-(m+2)x+3m+3=0の2つの解をα,βとする。
(1)α,βの満たす関係式を求めよ。
(2)α,βがともに正の実数となる条件を求めよ。
(3)α,βがともに正の整数となるmの値を求めよ。

≪自分の解答≫
(1)解と係数の関係から
α+β=m+2,αβ=3m+3

(2)実数だから(判別式)≧0よりm≦4-2√6,4+2√6≦m・・・(1)
さらにα+β=m+2>0 かつ αβ=3m+3>0 すなわちm>-1・・・(2)
(1)(2)より、ゆえに　-1<m≦4-2√6,4+2√6≦m

(3)やり方がわかりません…
どなたかよろしくお願いします…。。

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

#1です。＾＾

＞α+β,αβが整数になるのでmは整数になるとおもうのですが…
ですね。
ただし、ここから単に「mは整数だから」とすると、α、βが整数にならない場合も含まれてしまいます。

＞4+2√6≦mという範囲があって…mが整数になる値が無限にあるように思えます…
確かに言われるとおりですね。＾＾；
となると、別の方法を考えてみましょう。
(i) α+β＝ m+ 2
(ii) αβ＝ 3m+ 3＝ 3(m+ 1)

mが整数ということなので、当然 m+ 1も整数です。
そこで、m+ 1が「ある 2つの数」の積であると考えてみましょう。
m+ 1＝ p* q（p, qは正の整数）とおいてみるということです。

置いた式は、αβ＝ 3p* qとなります。
あとは、α＝ 3p、β＝ qであるとして、(i)式にあてはめます。
このようにすることで、整数問題として解くことができます。

すっかり、範囲が閉じていないことを忘れていました。＾＾；

お礼

ありがとうございました＾＾

補足

すみません…
α+β=m+2=3p+qとしてからどのようにしていいのかわかりません…

回答No.4

naniwacchi

#3です。

＞α+β=m+2=3p+qとしてからどのようにしていいのかわかりません…
m+ 1＝ 3pqですから、p, qだけの式にできますよね。
そこから整数問題です。＾＾

お礼

ありがとうございました＾＾

回答No.2

koko_u_u

>α+β,αβが整数になるのでmは整数になるとおもうのですが…

でも、逆は成り立たねえんだ。

お礼

ありがとうございました＾＾

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
もう解けているも同然なような・・・

・α、βが正の整数ならば、mはどんな数になりますか？
・当然のことながら、整数は実数の一部（含まれている）ですよね。
・上で求めた mのすべてが題意を満たすわけではありません。
ということは、最後に「確認」が必要になります。

これらのことを整理してみてください。

お礼

ありがとうございました＾＾

補足

α+β,αβが整数になるのでmは整数になるとおもうのですが…

4+2√6≦mという範囲があって…mが整数になる値が無限にあるように思えます…
どうしたらいいのでしょうか＾＾；