積分 問題

質問

積分　問題　

2曲線x=－（y^2）+2yとｙ=（√x）に囲まれた図形の面積を求めよ。
式が立てられません・・・
どのようにして求めれば良いでしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.6

noname#137826 · ベストアンサー

> y=xより、y=√xが成り立つのは、0と1

y = x はどこから出てきたのですか?
「y = √xが成り立つ」とは何のことですか?

(積分とは無関係に)連立方程式、あるいは2次方程式が解けないのでしょうか？(もしそうならば、それを扱った単元まで戻って復習する必要があります。方程式が解けないで、このような問題は解けません。厳しいようですが、数学が積み重ねの上に成り立つことを踏まえると、急がば回れとしか言いようがないのです。)

x=－（y^2）+2y と x=y^2 の交点は、連立方程式を解けば求まります。2つの方程式から x を消去して -y^2 + 2y = y^2 となります。これは y(y-1) = 0 と変形できますから、y = 0, 1 が解です。したがって、積分範囲は 0 <= y <= 1 です。

y >= 0 において y = √x と x = y^2 が等価であることは先に回答した通りです。その回答にわからない個所があれば、そこを指摘してください。

お礼

ご回答ありがとうございます。
-y^2+2y=y^2として、これを-2y^2=-2y→y^2=y→y=1
と求めました。
y=√xをx=-y^2+2yに代入するとx=-y^2+2y→x=-x+2y
よりx=yが導かれます。x=yでy=√xを満たすのは、0と1と
無理やりですが計算した次第です・・・

ご回答にあります、-2y^2+2y=0とすると、y^2-y=0→y(ｙ-1)=0
とすれば、すっきり解けました。
お手数をおかけ致しました、すいませんm（__）m

連立方程式の解き方が怪しいので、復習すると共に同じような
囲まれた面積を求める問題を解きたいと思います。

本当にご回答ありがとうございました。

回答No.5

noname#137826

グラフを描いてわかるのは、2曲線の位置関係(どちらが大きいかなど)だけです。もう一度強調します。グラフが役立つのは、2曲線の大小関係が分かるので被積分関数に絶対値をつける必要がない、ということです。交点の座標まではわかりません。交点の正確な座標がわからないのは、グラフ作成ソフトを使っても、手書きでも同じことです。正確な交点の座標は数式を解いて求める必要があります。

No. 3の補足に書かれている通り、「x=－（y^2）+2yとx=y^2の交点は求まります。」ということなら、交点は2つ出てくるはずです。それが積分範囲です。

もし、問題で与えられているのは y = √x であって、x = y^2 ではないことを気にしているのなら、両者がy >= 0 では等しいことを考慮に入れればよいでしょう。x = y^2 を使って求めた交点の座標が y >= 0 を満たすならば、その交点は y = √x との交点でもあるはずです。なぜなら、y >= 0 で y = √x と x = y^2 は等しいのですから。

お礼

y=xより、y=√xが成り立つのは、0と1ということで積分範囲は求められるのでしょうか？
どうぞ、ご回答よろしくお願い致します。

補足

ご回答ありがとうございます。
理解しました。グラフでは大小関係がわかるだけで、積分範囲はわからないのですね。
ありがとうございます。
積分範囲についてですが、y=1以外のもう一つはどのように導くのでしょうか？
連立方程式では、y=1と、x=1以外の解を導けません。
y=0をどのように導くのか教えて頂けませんでしょうかm(_ _)m

回答No.4

noname#137826

No. 3の補足にある質問の趣旨がわかりません。

交点が求められればそれが積分範囲です。
なぜ求められないと思うのでしょうか?
積分範囲とは何のことだと思っていますか?
また、y = 0 はなぜ突然出てくるのでしょうか?

推測ですが、面積と積分の基本的なところを理解せずに公式だけを覚えて答えを出そうとしていませんか?

どのようにして求めればよいかというご質問でしたので、できる範囲で基本に立ち返りつつ丁寧な説明を心がけてきましたが、その説明はご理解いただけていますか?

「求める方法」というのは、そのような説明ではなく、あてはめるべき公式とその適用方法ということでしたか? (もし、そうであるとするなら、私の説明は時間の無駄ということになります。)

補足

ご回答ありがとうございます。
ご回答下さった内容は大変勉強になります。
基本的にはグラフを描いて囲まれた面積を求めようと考えています。

面積が描けないような場合について、積分範囲をどうしてよいか
わからなかったので質問させて頂いております。

グラフより、y方向で積分してその積分範囲は０→１です。
上の問題をグラフを描けない事を前提として考えると、
交点は１と求めることができますが、もう一方の積分範囲は
どのようにして求めれば良いのでしょうか？

あくまで、グラフが描けない場合を想定しています。
今回の問題はグラフが描けますのでOKです。グラフ作成ソフトを使えば
問題ないのですが、テストではそうもいかないので・・・

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.3

noname#137826

> x=-y^2+2yとx=y^2で囲まれた面積の積分範囲は、
> どのように定めれば良いでしょうか？

yに関して積分するのならば、2曲線の交点のy座標を求めればそれが積分範囲になります。交点の座標の求め方は、直線と直線の交点や、直線と円の交点などの求め方と全く同じです。

> 囲まれた面積は絶対値を付ければ解決できると思います。
> 絶対値を外す手間がかかりますが。。。

もちろんそれでも構いません。ただし、なぜ絶対値記号をつけるのかちょっと考えてみましょう。

2曲線に囲まれた面積は、「値が大きい方の関数」の積分値 から「値が小さいほうの関数」の積分値 を引いたものですね。これが最も基本的で単純な定義です。

この定義を一般的な関数 f(x) と g(x) について記述しようとすると、f(x) と g(x) のどちらの値が大きいのかわからないので、どちらからどちらを引いたらよいのかわからずに困ってしまいます。

ここで、|f(x)-g(x)|を考えてみます。f(x) > g(x) のときは |f(x)-g(x)| = f(x)-g(x) であり、g(x) < f(x) のときは |f(x)-g(x)| = g(x) - f(x) です。つまり、f(x)とg(x)の大小に依らず「大きい方から小さい方を引く」ことが表現できます。これは数式で表現するときには大変便利です。これが、2曲線で囲まれた面積が「差の絶対値の積分」で与えられる(絶対値記号をつける)こと意味です。

実際に計算するときには、絶対値記号を外しますね。その時には、f(x)とg(x)の大小を評価して、f(x) > g(x) なら |f(x)-g(x)| = f(x)-g(x) であり、g(x) < f(x) なら |f(x)-g(x)| = g(x) - f(x) としますよね。つまり、「値が大きな方から値が小さな方を引く」ことをしますね。これは、元の基本的な定義に戻る作業をしていることに他なりません。

したがって、何らかの方法で f(x) と g(x) の大小がわかっているのなら、絶対値をつけてそれを外すという回り道をしなくても、最初から「値が大きな方から値が小さな方を引く」ことをすればよいわけです。「何らかの方法」の一つがグラフを描くことなのです。

つまり、絶対値の中の関数の正負を評価して絶対値記号を外すのと、グラフを書いて最初から絶対記号を外した状態で式を立てるのは、道筋がちょっとだけ違うだけでやっていることは結局同じです。その意味では、場合に応じてどちらでもできるようにしておく、というのが最も良いでしょうね。

> グラフが描ける場合はグラフを描こうと思います。
> が、グラフが難しい場合はどうすればよいでしょうか？

その場合は、(回答記述上は)絶対値記号をつけた数式からスタートすることもあるでしょう。しかし、その直後に、絶対値記号を外すために、2曲線の大小評価をすることになります。その評価にグラフが使えないということであれば、数式を解くなどの他の方法をとることになりますね。

補足

親切丁寧にご回答下さりありがとうございます。
＞直線と直線の交点や、直線と円の交点などの求め方
連立方程式を立ててとくと思うのですが、
x=－（y^2）+2yとx=y^2よりy^2=－（y^2）+2yだから、
2y^2=2y→y^2=y→y=1よりx=－（y^2）+2yとx=y^2の交点は求まります。
これだけでは積分範囲を定められません…ｙ＝０はどのようにして求めるのでしょうか？

回答No.2

noname#137826

補足にある質問を含めて、このような問題ではグラフを描くとよいでしょう。すると、見通しが圧倒的に良くなります。添付図左が問題に与えられている2曲線のグラフです。

> x=－（y^2）+2yとx=y^2で囲まれた面積でも問題ないでしょうか？

添付図左の青線(実線・点線両方)が x = y^2 のグラフになりますね。求める面積は結局同じであることは一目瞭然です。

面積を求める際、xについて積分すると計算がやや面倒ですが、yについて積分するのは簡単です。「yについて積分する」のと「xとyを入れ替える」(その後でxについて積分する) のは同じことです。わかりやすいように、xとyを入れ替えたグラフが添付図右です。

> なぜ∫[a→b](-x^2+2x) - (x^2) dxと(-x^2+2x)から(x^2) をひいているのでしょうか？

添付図右を見ればこれも一目瞭然です。求める面積は　y = -x^2 + 2x を a から b まで積分したものから、y = x^2 を a から b まで積分したものを引いたものになっていますね。これをまとめると、(-x^2+2x) - (x^2) を a から b まで積分する、ということになります。

> 今回の問題は絶対値を付ける必要は無いのでしょうか？

つけても構いませんよ。でも、後で外しますよね。その時に、a < x < b での -x^2+2x と x^2 の大小関係を評価することになります。前回の回答では明示的に描きませんでしたが、私が回答を考えたときには、添付図のようなグラフを描いて、大小関係の評価を行ってしまっていたわけです。

グラフを描くのは面倒だと思うかもしれませんが、見通しが良くなることでつまらないミスを防ぐことができるだけでなく、結局は色々な手間も省くことができる場合も多いのです。必ずグラフを描くことを強くお勧めします。

補足

親切丁寧なご回答ありがとうございます。
確かに、グラフを描いた方が分かりやすいし、
ミスも減らせますね。

グラフより、積分範囲も明らかに成りました。
今回は、y軸方向に積分します。
x=-y^2+2yとx=y^2で囲まれた面積は、
∫[0→1]（（-y^2+2y）-y^2）dy=∫[0→1]-2（y^2-y）dy
=-2∫[0→1]（y^2-y）dy=1/3

グラフが描ける場合はグラフを描こうと思います。
が、グラフが難しい場合はどうすればよいでしょうか？

x=-y^2+2yとx=y^2で囲まれた面積の積分範囲は、
どのように定めれば良いでしょうか？

囲まれた面積は絶対値を付ければ解決できると思います。
∫[0→1]｜（（-y^2+2y）-y^2）｜dy＝∫[0→1]｜（y^2－（-y^2+2y））｜dy
絶対値を外す手間がかかりますが。。。

回答No.1

noname#137826

x軸が横軸で、y軸が縦軸だと思うから複雑になるんです。
x軸を縦軸、y軸を横軸と考えてみてください。これと等価の方法は x と y を入れ替えることです。つまり、y = -x^2+2x と y = x^2 で囲まれた面積を求めれば、それが答えになります。

2曲線の交点のx座標をまず求めます。それを a, b (a < b) とすると、(-x^2+2x) - (x^2) を a から b まで積分すれば、求める面積になりますね。

補足

ご回答ありがとうございます。
理解しました。
x=－（y^2）+2yとx=y^2で囲まれた面積でも問題ないでしょうか？
また、なぜ∫[a→b](-x^2+2x) - (x^2) dxと(-x^2+2x)から(x^2) をひいているのでしょうか？
例として、y=xとx=1で囲まれた部分の面積は、
∫[0→1]xdx=1/2と計算出来ます。グラフ上より正の値が出ることから絶対値を考えませんでしたが、
今回の問題は絶対値を付ける必要は無いのでしょうか？
なぜ、差をとった関数を積分するのかと、絶対値はいらないのかについて教えて頂けませんでしょうか？