微分積分の問題7です

質問

曲線x=3t^2,y=3t-t^3(-√3<=t<=√3)について、次の問いに答えよ

(1)概形を求めよ。

(2)この曲線で囲まれる図形の面積を求めよ

(3)この曲線の長さを求めよ

この問題の解答よろしくお願いします

ちなみに、(1)は出来ればで結構です(汗)

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1)
概形は添付図の通り。
x(t)がtの偶関数、y(t)がtの奇関数なのでグラフはx軸対称。
t=0～√3の時　x=0～9,y=t(3-t^2)=y1(t)≧0
t=-√3～0の時　x=9～0,y=t(3-t^2)=y2(-t)≦0
y2(t)=-y1(t)≦0(0≦t≦√3)
t=1でy=y1(t)は最大値y(1)=y1(1)=2,t=-1でy(t)=y2(-t)は
最小値y(-1)=y2(1)=-2をとる。
という性質があります。

(2)
グラフがx軸対称なので
面積
S=∫[0→9] {y1(t)-y2(-t)}dx(t) (0≦t≦√3)
=∫[0→9] 2y1(t)dx(t) (0≦t≦√3)
=∫[0→√3] 2y1(t)(dx/dt)dt
=∫[0→√3] 2(3t-t^3)(6t)dt
=12∫[0→√3] (3t^2-t^4)dt
=12[t^3-(1/5)t^5][0→√3]
=(72/5)√3

(3)
グラフがx軸対称なので曲線の長さLは0≦t≦√3の部分を求め２倍すれば良い。
曲線長
L=2∫[0→√3]√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}dt
=2∫[0→√3]√{(6t)^2+(3-3t^2)^2}dt
=2∫[0→√3]√{9(t^2+1)^2}dt
=6∫[0→√3](t^2+1)dt
=6[(1/3)t^3 +t][0→√3]
=12√3
=∫[0→9] 2y1(t)(dx/dt)dt

お礼

回答ありがとうございました。
図の添付もあったのでとてもわかりやすかったです。
途中の説明にも感謝です。

回答No.1

ferien

＞曲線x=3t^2,y=3t-t^3(-√3<=t<=√3)について、次の問いに答えよ

(1)概形を求めよ。

＞(2)この曲線で囲まれる図形の面積を求めよ
ｘ＝３ｔ^2≧０，ｔ＝±√３のとき、ｘ＝９より、０≦ｘ≦９
ｄｘ／ｄｔ＝６ｔ
∫［０～９］ｙｄｘ
＝∫［－√３～√３］ｙ（ｄｘ／ｄｔ）ｄｔ
＝∫［－√３～√３］（３ｔ－ｔ^3）・６ｔｄｔ
＝２×６∫［０～√３］（３ｔ^2－ｔ^4）ｄｔ

＞(3)この曲線の長さを求めよ
ｄｙ／ｄｔ＝３－３ｔ^2＝３（１－ｔ^2）
(dx/dt)^2＋(dy/dt)^2
＝（６ｔ）^2＋３^2（１－ｔ^2）^2
＝９（１＋ｔ^2）^2より、
√｛(dx/dt)^2＋(dy/dt)^2｝＝３（１＋ｔ^2）
∫［－√３～√３］√｛(dx/dt)^2＋(dy/dt)^2｝ｄｔ
＝∫［－√３～√３］３（１＋ｔ^2）ｄｔ
＝２×３∫［０～√３］（１＋ｔ^2）ｄｔ

後は計算してみて下さい。

お礼

回答ありがとうございました。
個人的にとても複雑な計算であったので質問して良かったです。
ありがとうございました。