定積分の問題

質問

(1)次の図形の面積を求めよ。
√(x/2)＋√(y/3)＝1とx軸、y軸で囲まれた図形
(2)半径12cmの半球の容器に水が満たしてある。これを30°だけ
傾けるとき、水の流れ出る量はいくらか？

(1)は
0≦x≦2、0≦y≦3
√(y/3)＝1-√(x/2)　にして両辺を２乗して
y/3＝(1-√(x/2))^2
∴y＝3(1-√(x/2))^2
よってＶ＝π∫<0→2>y^2＝π∫<0→2>9(1-√(x/2))^4
この積分がわかりません。それかほかに解法がありますか？
(2)はよくわかりません。お願いします。

回答No.2

info22

#1です。

(2)
ヒントの訂正です。
V =(2/3)(12^3)π[cm^3]
V1=π∫<0→12{1-sin(π/6)}> (12^2-x^2)dx

(V→1152π,V1→792π)

回答No.1

info22

(1)
＞Ｖ＝π∫<0→2>y^2＝π∫<0→2>9(1-√(x/2))^4
Ｖ＝π∫<0→2>(y^2)dx＝π∫<0→2>9(1-√(x/2))^4dx
これはx軸の周りの回転体の体積ですが、
＞次の図形の面積を求めよ。
問題は面積を求めるのと違いますか？
S=∫<0→2>(y)dx=∫<0→2>3(1-√(x/2))^2dx
=3∫<0→2>{1-2(x/2)^(1/2)+x/2}dx
この積分ならできると思いますが、やってみてください。

(2)
丸投げしないで質問者さんの解答を補足に書いて分からない箇所だけ質問すること。
ヒント）(流れ出る量V2)＝（半球の体積V)-（残る水の体積V1）
V =(2/3)(12^2)π[cm^3]
V1=π∫<0→12{1-sin(π/12)}> (12^2-x^2)dx

丸解答すれば削除対象ですので、後は自力でやってください。

補足

(1)次の図形のx軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ。
√(x/2)＋√(y/3)＝1とx軸、y軸で囲まれた図形

(1)は回転体の体積でした。間違えました。