積分の問題でわからない問題があります。

質問

文系人間なんですが、まったくわかりません（Ｔ＿Ｔ）
詳しい方教えてください！

（問題）

放物線ｙ＝ｘ２乗ー６ｘと

ｘ軸直線ｘ＝１、ｘ＝３で囲まれた図形の面積を求めよ。

という問題です。

解説を見てもわからなくて、
こまっています。

どうぞよろしくお願いいたしますm(_ _)m

回答No.3

T-gamma · ベストアンサー

＞すなわち、１≦ｘ≦３　において、ｙ＝ｘ^2－６ｘ＜０　だから、（－）を掛けると、０＜－(ｘ^2－６ｘ)＝６ｘ－ｘ^2

のところなのですが、なぜ（－）を掛けたのでしょうか？

(-)を掛けたというよりはｙ＝０とｙ＝６ｘ－ｘ^2の引き算をした
つまり
０－(ｘ^2－６ｘ)
としたという方が正確でしょうかね。

これは２つ目の質問ともリンクしてますが、微小な長方形の高さはｙ＝０とｙ＝６ｘ－ｘ^2の間の長さです。１≦ｘ≦３ではｙ＝０の方が上にあり、ｙ＝６ｘ－ｘ^2が下にあります。高さを出すためには上から下を引くので
高さ(x)=０－(ｘ^2－６ｘ)=－(ｘ^2－６ｘ)
微小な面積dS=高さ(x)dx＝－(ｘ^2－６ｘ)ｄｘ
となるわけです。

お礼

ご回答ありがとうございます！

あれからやってみたらなぜかできてしまいました！

まだ本当の理解にはいたっていませんが、
とりあえず２次関数が関係するグラフの面積を求める時は積分を使って、
幅をdx、高さを上の式（今の場合はy＝０）から下の式を引いてやって、
それをインテグラルでくくると、、、。
で、積分する。

インテグラルには１～３のような定義域を設定してやって、
積分し終わったものにまず３を代入して、３～０までの面積を求めてやって、次に１を代入して１～０の範囲を求めて、３－１をすると
求めたい面積がでてくる！

といったことですね！
なにしろ数学の才能０の私なので、
後は忘れないように覚えていくという悲しい作業なのですが、

捨てようと思っていたのですが、
同じような問題なら解けそうな気がします！

ありがとうございました。助かりました．

回答No.2

fuuraibou0

問題では、囲まれた面積がありません。0125micaさんが云われるように、
「ｙ＝０　の　ｘ軸で囲まれた」が抜けています。そこで、

ｙ＝ｘ^2－６ｘ　のグラフは、　ｘ＝１　で　ｙ＝－５、　ｘ＝２　で　ｙ＝－８、
ｘ＝３　で　ｙ＝－９、
すなわち、１≦ｘ≦３　において、ｙ＝ｘ^2－６ｘ＜０　だから、（－）を掛けると、０＜－(ｘ^2－６ｘ)＝６ｘ－ｘ^2

よって、長さ (６ｘ－ｘ^2)　に微小な幅　dx　を掛けた細長い面積　ds　は、
ds＝(６ｘ－ｘ^2)dx　で、

ds　を　Ｘ＝１～３　まで集めたら、面積　Ｓ　が求められ、
　　　３　　　 ３
Ｓ＝∫ds＝∫(６ｘ－ｘ^2)dx
　　　１　　　１
　　　　　　　　　　　　 　３
　＝[６ｘ^2/２－ｘ^3/３]
　　　　　　　　　　　　　 １
　＝２７－９－(３－１/３)＝１５＋１/３＝４６/３＝１５.３３　です。

お礼

みなさまご回答ありがとうございます。

一つわからないところがあるのですが、

すなわち、１≦ｘ≦３　において、ｙ＝ｘ^2－６ｘ＜０　だから、（－）を掛けると、０＜－(ｘ^2－６ｘ)＝６ｘ－ｘ^2

のところなのですが、なぜ（－）を掛けたのでしょうか？

また

よって、長さ (６ｘ－ｘ^2)　に微小な幅　dx　を掛けた細長い面積　ds　は、ds＝(６ｘ－ｘ^2)dx　で、

のところなんですが、
微小な幅ｄｘは縦長になる図形ですよね。
これに長さ(６ｘ－ｘ^2)をかけるとありますが、(６ｘ－ｘ^2)はどこの長さになるのでしょうか？放物線の線上ということでしょうか？

もう少しでわかりそうなんですが、
すいません、積分を今日習ったばかりで、
混乱してます。。。。

回答No.1

0125mica

文系の方とのことですが…与えられた放物線がグラフとして描けますか？
y=x^2-6x=x(x-6)から
(1)　原点(0,0)と(6,0)を通る
(2)　下に凸で、頂点は(3、-9)である
ＯＫかな？

ｘ＝１とｘ＝３とｙ＝０とこの放物線で囲まれた図形の面積！！ですね。
ｘ＝１の時のｙは－５、ｘ＝３は頂点だからｙ＝－９。
長さだから正の数5と9、平均は７。
だから恐らく（ｘの範囲の２）×（ｙの平均７）＝14ぐらいになると予想しておく。

∫０－（ｘ^２-6x）ｄｘ、積分範囲は（x=1～x=3）

積分すれば[3x^2-(1/3)x^3]となるのは…OKですよね
あとは、積分範囲ｘ＝３のときの数値からＸ＝１の時の数値の差です。
予想した14より少し大きくなるのは、放物線が膨らんでいるから当然ですね。