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解決済み

積分の問題

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  • 質問No.86779
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 上面の半径が10cm深さが20cmの直円錐形の容器がその軸を鉛直にして置かれている。この容器に毎秒3立方cmの割合で静かに水を注ぐ時、水の深さが6cmになる瞬間の、水面の上昇する速さと水面の面積の増加する速さを求めよ。
 という問題なのですが、多分積分の問題だろうと思うのですが、僕の家族は期待してもしょうがないけど全く分かりません。誰かこの問題の分かる方教えてください。それと三乗ってどうやって入力するのでしょうか?
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2
レベル14

ベストアンサー率 50% (1133/2260)

kajuram さんの回答がありますので,もうお分かりかと思いますが,「水面の面積の増加する速さ」の方を回答しておきます。

水の深さ x cm の時の水面の面積 S は,
  S = π x (半径)^2 = π x (x/2)^2

ここで速度は時間あたりの変化ですから,水面の面積の増加する速度は (dS/dt) と微分になります。

したがって,
  dS/dt = d(π x (1/4) x (2x) )/dt = (π/2) x (x) x (dx/dt)

ここで,(dx/dt) は求まっていますから (dS/dt) も求まります。

いかがですか。
お礼コメント
noname#2746

 すごくスマートな解法ですね!ばっちり提出できました。感謝感謝です。
投稿日時 - 2001-06-12 20:16:21
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その他の回答 (全2件)

  • 回答No.1
レベル8

ベストアンサー率 33% (13/39)

積分ではなく、微分の問題ですね。 水の深さをxとすると、水面の半径はx/2となりますね。 このときの体積Vは、V=(π/12)x^3となりますね。 ココで、時間tについて微分をとります(ちなみに、Vとxはtの関数です)。  (dV/dt)=(π/12)3x^2(dx/dt) となります。 後は、わかりますよね。 たぶん、あっていると思いますが、自信はあまりありません。 ...続きを読む
積分ではなく、微分の問題ですね。

水の深さをxとすると、水面の半径はx/2となりますね。
このときの体積Vは、V=(π/12)x^3となりますね。
ココで、時間tについて微分をとります(ちなみに、Vとxはtの関数です)。

 (dV/dt)=(π/12)3x^2(dx/dt)

となります。
後は、わかりますよね。
たぶん、あっていると思いますが、自信はあまりありません。
お礼コメント
noname#2746

 ありがとうございます。なんとか締め切りまでに提出する事ができました。本当にご回答ありがとうございました。
投稿日時 - 2001-06-12 20:12:17


  • 回答No.3
レベル8

ベストアンサー率 33% (10/30)

時刻tの時の深さをH(t),水面の面積をS(t),体積をV(t)と置くと、 S(t)=π{H(t)/2}^2 V(t)=S(t)H(t)/3 V(t)/dt=3 というのが一番素直な式のたてかただと思います。 いや、別にそれだけなんですが。聞き流しちゃってください。 ...続きを読む
時刻tの時の深さをH(t),水面の面積をS(t),体積をV(t)と置くと、

S(t)=π{H(t)/2}^2
V(t)=S(t)H(t)/3
V(t)/dt=3

というのが一番素直な式のたてかただと思います。
いや、別にそれだけなんですが。聞き流しちゃってください。
お礼コメント
noname#2746

 この解法もスマートでいいですね!全然思いつきませんでした~。ご回答ありがとうございます。
投稿日時 - 2001-06-12 20:17:34
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