積分の問題について教えてください

質問

積分の問題について教えてください

y=x^3-xのグラフをCとし、Cをx軸方向に k(0<k<2)だけ平行移動した曲線をDとする。
(1)Dの方程式を求めよ
(2)CとDで囲まれる図形の面積をkで表せ

できれば解法と手順をお願いします

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

f(x)=x^3-xとおきます．

(1)D:y=f(x-k)=(x-k)^3-(x-k)

D:y=x^3-3kx^2+(3k^2-1)x-k^3+k（答）

(2)

f(x)-f(x-k)=x^3-(x-k)^3-(x-(x-k))

=(x-(x-k))(x^2+x(x-k)+(x-k)^2)-(x-(x-k))

=k(x^2+x^2-kx+x^2-2kx+k^2-1)

=k(3x^2-3kx+k^2-1)=0

とすると

3x^2-3kx+k^2-1=0

この判別式Dは0<k<2より

D=9k^2-12(k^2-1)=12-3k^2=3(2+k)(2-k)>0

よって異なるα，β（α<β）があって

f(x)-f(x-k)=3k(x-α)(x-β)

よって求める面積Sは

α≦x≦βのときf(x-k)≧f(x)

x<α，β<xのときｆ(x)>f(x-k)

だから，

S=∫_α^β{f(x-k)-f(x)}dx

=-3k∫_α^β(x-α)(x-β)dx

=(k/2)(β-α)^3

α=(3k-√D)/6，β=(3k+√D)/6より

S=(k/2)(√D/3)^3=(k/54)D^{3/2}

=(k/54)3√3(4-k^2)^{3/2}

=(√3/18)k(4-k^2)^{3/2}(答)