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積分の問題について教えてください
ereserve67の回答
f(x)=x^3-xとおきます. (1)D:y=f(x-k)=(x-k)^3-(x-k) D:y=x^3-3kx^2+(3k^2-1)x-k^3+k(答) (2) f(x)-f(x-k)=x^3-(x-k)^3-(x-(x-k)) =(x-(x-k))(x^2+x(x-k)+(x-k)^2)-(x-(x-k)) =k(x^2+x^2-kx+x^2-2kx+k^2-1) =k(3x^2-3kx+k^2-1)=0 とすると 3x^2-3kx+k^2-1=0 この判別式Dは0<k<2より D=9k^2-12(k^2-1)=12-3k^2=3(2+k)(2-k)>0 よって異なるα,β(α<β)があって f(x)-f(x-k)=3k(x-α)(x-β) よって求める面積Sは α≦x≦βのときf(x-k)≧f(x) x<α,β<xのときf(x)>f(x-k) だから, S=∫_α^β{f(x-k)-f(x)}dx =-3k∫_α^β(x-α)(x-β)dx =(k/2)(β-α)^3 α=(3k-√D)/6,β=(3k+√D)/6より S=(k/2)(√D/3)^3=(k/54)D^{3/2} =(k/54)3√3(4-k^2)^{3/2} =(√3/18)k(4-k^2)^{3/2}(答)
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