数学の微分積分の問題がわかりません。

質問

数学の微分積分の問題がわかりません。

aを実数とする。このとき、曲線y=e^xとy=(x-a)^2の両方に接する直線が存在するようなaの値の範囲を求めよ。

わかりません。
お願いします！！

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

y=e^xの接線は,接点のx座標をbとすると
y=(e^b)(x-b)+e^b → y=(e^b)(x-b+1) …(1)

y=(x-a)^2の接線は、接点のx座標をcとすると
y=2(c-a)(x-c)+(c-a)^2 → y=2(c-a)(x-(a+c)/2)…(2)

(1)と(2)が一致する時、(1)が共通接線になる。
このとき
　e^b=2(c-a), b-1=(a+c)/2
２つの方程式を,a,cの連立方程式として解くと
　a=b-1-(1/4)e^b　…(3)
　c=b-1+(1/4)e^b　…(4)
(3),(4)のa,cは、bすなわち共通接線(1)の１つの接点(b,e^b)のx座標が決まれば決まる。
bが全実数範囲で動く時、(3)式のaの値域を求めれば良い。
a=f(b)=b-1-(1/4)e^b
増減表を作ってaの変化を調べれば、aの範囲が求まります。
この位は出来ますね。
aの範囲は増減表から a≦ln(4)-2=ln(4/e^2)
となります。
等号は　b=ln(4)=2ln(2)の時です。