i番目の試験の得点をx_iと表します。
得点が全部でn個なら、データはx_1, x_2, … , x_nとなります。
また、x_1 ~ x_nの平均をx_avrと置きます(x-だと、引き算の記号と間違いやすいので)。
x_avr = (x_1 + x_2 + … + x_n) / n
なので、両辺にnをかけると
nx_avr = x_1 + x_2 + … + x_n
∴ x_1 + x_2 + … + x_n = nx_avr ――― (*)
全データの総和は、(データの平均) × (データ数)になるという式ですが、
これを後で使います。
次に変量uについて考えます。
x_iの変量をu_iと置き(つまりu_i = (x_i - x_avr) / Sxとなります)、
変量の平均をu_avrと置きます。
u_1 = (x_1 - x_avr) / Sx
u_2 = (x_2 - x_avr) / Sx
……
u_n = (x_n - x_avr) / Sx
u_avrの計算式は
u_avr = (u_1 + u_2 + … + u_n) / n
ここで先ほどのu_i = (x_i - x_avr) / Sxを代入すると
u_avr
= (u_1 + u_2 + … + u_n) / n
= (x_1 + x_2 + … + x_n - nx_avr) / (nSx)
= (nx_avr - nx_avr) / (nSx) ((*)式より、x_1 + x_2 + … + x_n = nx_avr)
= 0 / (nSx)
= 0
似たような方法で、標準偏差が1になることも示せると思います。
行き詰ったらuの形のままではなく、xに変形してみると活路が見出せるかもしれません。