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標準偏差について

最近、統計の勉強を始めたのですが、分からない問題があります。 試験の得点xの平均をx-、標準偏差をSxとすると 変量u=(x-x-)/Sxについて、uの平均と標準偏差Suを求めよ。 答えは、uの平均が0、標準偏差が1になるようです。 ぜひ教えてください!

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  • 回答No.3

全データの平均からの差の定数倍(今回は1/Sx倍)の平均なんだから、0に決まってるよね。 標準偏差はデータと平均の差の平方和の平方根をデータ数で割ったものなので、 平均が0なら各データの平方和をデータ数で割ればいい。 今回の問題なら、uがデータと平均の差を含んでいるので、 元データの標準偏差がuの標準偏差で出てくるから、 厳密な証明をしなくても、標準偏差が1であることはわかる。 計算で示すなら、 離散データならΣ 連続データなら∫ を頑張って計算する。

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  • 回答No.2
  • R_Earl
  • ベストアンサー率55% (473/849)

i番目の試験の得点をx_iと表します。 得点が全部でn個なら、データはx_1, x_2, … , x_nとなります。 また、x_1 ~ x_nの平均をx_avrと置きます(x-だと、引き算の記号と間違いやすいので)。 x_avr = (x_1 + x_2 + … + x_n) / n なので、両辺にnをかけると nx_avr = x_1 + x_2 + … + x_n ∴ x_1 + x_2 + … + x_n = nx_avr ――― (*) 全データの総和は、(データの平均) × (データ数)になるという式ですが、 これを後で使います。 次に変量uについて考えます。 x_iの変量をu_iと置き(つまりu_i = (x_i - x_avr) / Sxとなります)、 変量の平均をu_avrと置きます。 u_1 = (x_1 - x_avr) / Sx u_2 = (x_2 - x_avr) / Sx …… u_n = (x_n - x_avr) / Sx u_avrの計算式は u_avr = (u_1 + u_2 + … + u_n) / n ここで先ほどのu_i = (x_i - x_avr) / Sxを代入すると u_avr = (u_1 + u_2 + … + u_n) / n = (x_1 + x_2 + … + x_n - nx_avr) / (nSx) = (nx_avr - nx_avr) / (nSx)  ((*)式より、x_1 + x_2 + … + x_n = nx_avr) = 0 / (nSx) = 0 似たような方法で、標準偏差が1になることも示せると思います。 行き詰ったらuの形のままではなく、xに変形してみると活路が見出せるかもしれません。

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  • 回答No.1
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

まじめに u の平均や標準偏差を計算してください. まさか計算できないなんてことはないですよね.

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