統計 仮平均を用いた標準偏差について

質問

統計 仮平均を用いた標準偏差について

教科書を読んでいて、式変形に躓いてしまいました。以下の文です。

変量XがX１、X2、…XnのN個の値を取るとき、平均値に近いと予想される値をX０、cを正の定数として、各Xnに対して
Ｘn Un=Xn-X0/c(n=1、2、3、……、N)
によって定まる新しい変量Uを定める。
このとき、Xn=cUn+X0(n=１、2、３、…、N)であるから、2つの変量X、Uの平均値をそれぞれ
Xバー、Uバーとすると

Xバー=1/N(X１+X2+X3+……+Xn）=cUバー+X0
[引用終わり]

ここから、偏差が
(Xn-Xバー）^2={(cUn+Ｘ0)-(cUバー+X0)}^2
=c^2(Un-Uバー）^2

と導けるとのことですが、
c^2(Un-Uバー）^2
の式変形がよくわかりません。二乗の公式を用いて展開してまとめようとしたのですが、UnやUバー等似たような文字でスッキリまとめられませんでした。

お時間があればご教示いただけると嬉しいです。
よろしくお願いします:)

出典:実教出版数学I p184から

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

「
このとき、Xn=cUn+X0(n=１、2、３、…、N)であるから、
」
だから
↓
Xn=cUn+X0…………………………(1)

「
Xバー=1/N(X１+X2+X3+……+Xn）=cUバー+X0
」
だから
↓
Xバー=cUバー+X0…………………(2)

(1)から(2)を引くと
↓
(Xn)-(Xバー)=(cUn+X0)-(cUバー+X0)=c(Un-Uバー)
↓両辺を2乗すると
(Xn-Xバー)^2={(cUn+X0)-(cUバー+X0)}^2
=(cUn+X_0-cUバー-X0)^2
=(cUn-cUバー)^2
={c(Un-Uバー)}^2
=c^2(Un-Uバー)^2

Xの標準偏差をσx
Uの標準偏差をσu
とすると
(σu)^2=(1/N)Σ_{n=1～N}(Un-Uバー)^2
だから

(σx)^2
=(1/N)Σ_{n=1～N}(Xn-Xバー)^2
=(1/N)Σ_{n=1～N}c^2(Un-Uバー)^2
=c^2(1/N)Σ_{n=1～N}(Un-Uバー)^2
=c^2(σu)^2

よって
σx=c(σu)

お礼

回答ありがとうございました:)