標準偏差が１になることを証明

質問

標準得点を人数分出した後、標準偏差が１になることを
証明する公式を書かなくてはいけないのですが、その公式
とは通常、標準偏差を求める時に使う公式
√(Σ(X_i-M)^2)/N
でいいのでしょうか？
今までxにはテストの得点（70点、80点など）をいれる計算
をしてきましたが、
ｘに標準得点(－1,5点や0)を入れてもいいのですか？
初心者でうまく説明出来なくて申し訳ありません。
どなたか解答お願い致します。

回答No.1

kup3kup3 · ベストアンサー

こんにちは。
>標準偏差を求める時に使う公式
√(Σ(X_i-M)^2)/N
でいいのでしょうか？

まず、そのテストの「得点の範囲」がはっきりしませんので
何ともいえません。

いわゆる中学の先生が造り出したといわれる
「0点以上100点満点のテスト」の「偏差値」は
次のようになっています。

(1)「0点以上100点満点のテスト」で人数N人,　平均がM，
標準偏差がσ=√{(Σ(X_i-M)^2)/N}として計算した結果、
出てきたσをもとに、

得点X_iの生徒の偏差値Y_iは
「偏差値Y_i=50＋10×(X_i-50)/σ」として算出します。

つまり、「平均点が５０点、標準偏差が10点になるように
{平均M、標準偏差σ}　→{平均50、標準偏差10}
と変数変換しているわけです。

すると「この偏差値得点では、{平均点50点、標準偏差10点}」
に必ずなるわけです。
この偏差値ではマイナス点も100点を超えることも
あります。
たしか前に計算しましたが、1人だけ100点、ほかの24人が０点のとき
などです。人数を何人以上にするとこうなるかは解いて見てください。

(2)標準偏差は、「偏差の平方の平均の平方根」と習いましたので
√(Σ(X_i-M)^2)/Nが
√{(Σ(X_i-M)^2)/N}の
意味ならよいと思いますが。
70点とか、-1.5点とか言われているので
こんなに「ばらつき具合」が大きいのでは上の方式の
偏差値の得点だったら、
標準偏差σ=1というのはほとんどあり得ないですね。

結論として、「0点以上100点満点のテストでは、
マイナス点も100点も超えることがある。そのときでも
標準偏差σ=10　に必ずなります」

>標準偏差が１になることを
証明する公式を書かなくてはいけないのですが、

と、ありますが、ここまで書いてきて気がつきましたが、
もしかして「標準偏差が10」のあやまり？

お礼

迅速かつご丁寧な回答ありがとうございます。
分からないことが多く頭が混乱していました。
もう一度回答してくださったものを見て、やり
直してみようと思います。

補足

見直してみると√(Σ(X_i-M)^2)/Nは
√{(Σ(X_i-M)^2)/N}でした。
標準偏差は１であっています。
ご指摘ありがとうございます。