積分の回答があっているか教えてください

質問

以下の計算問題を解いたのですが、
よくわかってないまま解いたところもあり、あっているか自信がありません。
わかる方、ご指南おねがいします。

(1) ∫{1→2}1/(x+1) dx
x+1=tとおく。
(dt)/(dx)=1→dx=(dt)/1

x | 1→2
---------
t | 2→3

∫{2→3}1/t dt= [log |t|]{2→3}
F(x)=log|3|-log|2|

(2) ∫x^2/(1+x^2) dx
公式 1?(1+x^2) dx=arctan(x)+Cより
F(x) = x-arctan(x)+C (Cは積分定数)

回答No.1

oyaoya65 · ベストアンサー

>(1) ∫{1→2}1/(x+1) dx
>x+1=tとおく。
>(dt)/(dx)=1→dx=(dt)/1
この式は単に「dx=dt」
と書けばよい。

>x | 1→2
>---------
>t | 2→3

>∫{2→3}1/t dt= [log |t|]{2→3}
tの積分範囲が{2→3}でt>0であるからlog中のtには絶対値不要。
∫{2→3}1/t dt= [log(t)]{2→3}

>F(x)=log|3|-log|2|
この式は×。左辺がxの関数、右辺が定数で「＝」で結べない。
F(x)は書いては駄目。
=log(3)-log(2)=log(3/2)

>(2) ∫x^2/(1+x^2) dx
>公式 ∫1/(1+x^2) dx=arctan(x)+Cより
>F(x) = x-arctan(x)+C (Cは積分定数)
省略しすぎで減点される。以下のように1行入れる。
F(x)=∫{1-1/(1+x^2)} dx
= x-arctan(x)+C (Cは積分定数)

お礼

完璧な回答例、ありがとうございます。
細かいミスまで指摘していただき、本当にありがたいです。
独学で勉強している身ゆえ、ありがたさが骨身にしみます。
微分・積分は苦手分野のため、またご指導を仰ぐこともあると思いますが、その節はよろしくお願い申し上げます。