∫x^2√(4-x^2)dxの積分

質問

∫x^2√(4-x^2)dxの積分についてです。
以下のように解いて見たんですが，
∫x^2√(4-x^2)dx
=1/3x^3√(4-x^2)-1/3∫x^3√(4-x^2)dx
=1/3{x^3√(4-x^2)-∫[-2x/2√(4-x^2)]x^3dx}
=1/3{x^3√(4-x^2)-∫[-x^4/√(4-x^2)]3dx}
=1/3{x^3√(4-x^2)-∫[16-x^4/√(4-x^2)]dx+[16/√(4-x^2)]dx}
=1/3{x^3√(4-x^2)-∫(4+x^2)√(4-x^2)dx+16sin^-1x/2}
右辺の∫x^2√(4-x^2)dxを左辺に移動させると
4/3∫x^2√(4-x^2)dx=1/3{x^3√(4-x^2)-∫(4√(4-x^2)dx+16sin^-1x/2}
両辺を３倍して
4∫x^2√(4-x^2)dx=x^3√(4-x^2)-∫(4√(4-x^2)dx+16sin^-1x/2
よって
∫x^2√(4-x^2)dx=1/4{x^3√(4-x^2)-∫(4√(4-x^2)dx+16sin^-1x/2}

となりました。途中式・解答はあってますか？よろしくお願いします。

回答No.1

hatake333 · ベストアンサー

1行目の第2項の積分の中の「√(4-x^2)」に微分記号が抜けています．
でも，2行目でしっかり微分されているので，ＯＫです．
4行目の第3項に記号∫が抜けていますが，5行目でしっかり積分されているのでＯＫ！
後は合っていますが，最後の答えの中に
　　∫(4√(4-x^2)dx
が残っており，まだ積分の計算は完了していません．
　　∫(4√(4-x^2)dx
の積分は，x = 2sint と置き換えて積分すれば
　　∫(4√(4-x^2)dx = 4 * (1/2){x√(4 - x^2) + 4sin^-1x/2}
が求められますので，計算してみてください．
上記とあわせると，答えは
　∫x^2√(4-x^2)dx = (1/4)x^3√(4-x^2) - (1/2)x√(4 - x^2) + 2sin^-1x/2
となるはずです．

お礼

大変参考になりました。もう一度計算してみます。