∫[0 1](asin(x))^2dxの積分が解けません。

質問

∫[0 1](asin(x))^2dxの積分が解けません。

部分積分を考えて、
∫asin(x)dx= xasin(x)+√(1-x^2)
(asin(x))'=1/√(1-x^2)

[0 1][asin(x){xasin(x)+√(1-x^2)}]-∫[0 1](xasin(x)/√(1-x^2)+1)dx
で進めていくと、途中でlog0が出てきて行き詰ります。

何か別に良い解法があるのでしょうか？

あと、∫1/4+5sinx dxに関してもどう変形すればよいのか、どう置き換えれば良いのか分かりません。
お手数になりますが、ヒントを御願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

前半
>部分積分を考えて、
>∫asin(x)dx= xasin(x)+√(1-x^2)
この公式は使いません。
>(asin(x))'=1/√(1-x^2)
この公式は使います。
(√(1-x^2))'=-x/√(1-x^2)…(■)
を逆の積分公式として使います。

∫[0,1] (asin(x))^2dx
部分積分して
=[x(asin(x))^2] [0,1] -∫[0,1] 2xasin(x)/√(1-x^2)dx
=(π/2)^2 +2∫[0,1] {-x/√(1-x^2)}asin(x)dx
部分積分((■)使用)して
=(π/2)^2+2{[(√(1-x^2))asin(x)] [0,1]-∫[0,1] 1dx}
=(π/2)^2+2{-[x][0,1]}
={(π/2)^2} -2

後半
> ∫1/4+5sinx dx
他人にも分かる書き方をすること。
∫{(1/4)+5sin(x)} dx ですか？
∫1/{4+5sin(x)} dx ですか？

お礼

有難うございます。教えていただいた方法と
asin(X)=θ
sinθ=x

dx/dθ=cosθ
dx=cosθ dθ

∫(asin(x))^2dx=∫ θ^2*cosθ dθ
と変形したら解けました。

私が求めていた解はinfo22_さんの解法です。

∫1/{4+5sin(x)} dx です。括弧を忘れていました…

回答No.1

naniwacchi

asin(x)= tと置換した方が計算しやすいように思います。
あとは、tの積分を実行します。

∫1/(4+ 5sin(x)) dxということですよね？
tan(x/2)= tとおくことで、sin(x)= 2t/(1+t^2), dx= 2*dt/(1+t^2)と書けます。
あとは、部分分数に分解して計算ができます。

お礼

有難うございます。解けました。