不定積分∮(x+5)/(x^2+5)dxの途中式を

質問

不定積分∮(x+5)/(x^2+5)dxの途中式を教えて下さい。よろしくお願いします。

回答No.3

178-tall · ベストアンサー

錯誤を訂正。

5/(x^2+5)
　= (√5/2)*{ 1/(x-i√5) - 1/(x+i√5) }　　… (2)
　　　↓ 積分
　(√5/2)*LN{ (x-i√5)/(x+i√5) }
　= (√5/2)*LN{ exp(i*2arctan(x/√5) }
　= (√5)*arctan(x/√5) }

回答No.2

178-tall

複素対数関数を盗用してみると …

　　　↓ (x+5)/(x^2+5) を和分解

　x/(x^2+5)
　= (1/2)*{ 1/(x-i√5) + 1/(x+i√5) }　　… (1)
　　　↓ 積分
　(1/2)*{ LN(x+i√5) + LN(x-i√5) }
　= (1/2)*LN(x^2+5)

　5/(x^2+5)
　= (√5/2)*{ 1/(x-i√5) - 1/(x+i√5) }　　… (2)
　　　↓ 積分
　(√5/2)*LN{ (x-i√5)/(x+i√5) }
　= (√5)*LN{ exp(i*2arctan(x/√5) }
　= (√5)*arctan(x/√5) }

回答No.1

jcpmutura

t=x^2+5
とすると
dt=2xdx
(1/2)dt=xdx
だから

∫x/(x^2+5)dx
=(1/2)∫(1/t)dt
=(1/2)logt+c1
=(1/2)log(x^2+5)+c1

x=(√5)tant
とすると
dx=(√5)/{(cost)^2}dt
5/(5+x^2)=(cost)^2
t=arctan(x/√5)
だから

∫5/(5+x^2)dx
=(√5)∫dt
=(√5)t+c2
=(√5)arctan(x/√5)+c2
だから

∫(x+5)/(x^2+5)dx
=∫[{x/(x^2+5)}+{5/(x^2+5)}]dx
=∫x/(x^2+5)dx+∫5/(5+x^2)dx
=(1/2)log(x^2+5)+(√5)arctan(x/√5)+C