円周率（π）が超越数であるということの意味は？ そして真理とは？

質問

数学カテゴリで質問しようかと思いましたが、やっぱり哲学カテゴリにしました。
以前、「ゲーデルの不完全性定理ってわかりやすく言うと何？」と質問したとき
回答者の方から『不完全性定理のストレートな解釈は「自動的に定理を枚挙する
ようなアルゴリズムはない」という意味です』というすばらしい回答をいただき
感嘆いたしました。これこそ「事実のもつ意味であり真理だ」と思ったものです。
そこで質問です。

【質問１】円錐の体積は円柱の体積の１/３、球の体積は円柱の２／３という具合
に、体積比はきれいな有理数値です。なのにどうして円周率（π）は有理数でも無
理数でもない超越数なのでしょうか？（無理数は超越数の一部かな？）
その意味するところを何か「うまい言葉」で表現することはできないでしょうか？
曲線と直線の本質的不親和性とか何とか、、、あるいは数という概念の限界とか
何とか、、、

【質問２】円周率（π）が超越数であるという「真理」は、造物主が創ったものなど
ではなく、人間が「円周と直径の比は？」という問いを発したからムクムクと姿を
現したものであると考えることができると思います。したがって「事実」は自然界
に自然に存在するが「真理」は人間が「問い」を発して「創る」ものだと思うの
ですが素人考えでしょうか。

【質問３】「真理」は広く一般に認められて「事実」となり、それがさらに高次の
「真理」を生み出す母体基盤となると思うのですが、どうでしょうか。

このところ、ぼんやりと考えている「ホントに素人」な疑問です。
どんな回答でも結構です。質問１～３のどれかひとつだけの回答でも結構です。
いろいろな観点からのお話をお待ちしています。

回答No.4

Lantern

質問２について

　「比」は物質があるという意味で実在するのでしょうか。私はその意味を「計算可能な事柄のある関係」と捉えています。命名することによる、あるとせよはその後の出来事です。
　（円周率）を考えるのと（きみどりいろ）を考えるのでは、数学的前提＝自然数全体Nが存在する、のようなものを根拠に置くかどうかに最大の違いがあると思います。
　で、ここでもやはり数学の無限「観」が一番の勘所ではないでしょうか。現実的無限はダメだけれど、可能的無限なら帰納法によりOKだとか、ゲーデルの不完全性定理でよしとせよとかは、ホントはどうにも納得できないムラムラが残ってしまうのです。
　線分を点の集合と見れば世界の凡てが陥入してしまい、アキレスは何時までたっても亀に追いつけない世界がどこかにあります。だから「事実」と異なった理解を避けるために、「時間」と「空間」を同時に考えてはいけません、と限定付けします。
　まるごと全部解かりたい、というムラムラは神が存在しないとするなら、人間がその代わりとなっておかしくは無い、とするヒューマニズムの一種でしょうか。そんな病に私たちは冒されているのかも知れません。
　とは言え、充分過ぎるほどの英知を数学から頂戴している身であってみれば、美しい数式やすばらしい証明のその根源的な前提を、たまにササヤカに数学者に質問してみるだけで満足すべきなのでしょうか。う～ん難しい！

お礼

Lanternさん、回答ありがとうございます。お礼が遅くなってすみませんでした。
Lanternさんの深遠なご回答に、なんとかつりあいのとれるお礼の文章を書きたいと
思い、思索を続けています。数日後に、また来ます。

補足

Lanternさん、ご無沙汰しておりました。
私の魯鈍な頭脳では、問題のまわりをただうろうろするだけでLanternさんのご回答に
つりあうようなお礼は、土台無理なのでありました。
>　ここでもやはり数学の無限「観」が一番の勘所ではないでしょうか。
>　まるごと全部解かりたい・・・・・・そんな病に私たちは冒されているのかも知れません。
やっぱり「知りたい病」は永遠に癒されることのない病なんでしょうか。
『なぜ人間は「なぜ人間は・・・でしょうか？」と考えるのでしょうか？』
この『　　』、そっくりそのまま「・・・」のなかに自己参照的に陥入してしまいますね。
無限は怖いです。どんなに拡大（後退）しても、どんなに縮小（接近）しても、見え方は
まったく変わらないんですものね。宇宙を超高速で飛行したら進行方向を向いている人
には宇宙がどんどん拡大していっているように見えるし、進行方向と逆方向を向いている
人には宇宙が縮小していっているように見える。飛行する（あるいは数直線上を移動する）
ということはどういうことなのでしょう。『「無限」に近づく』なんてできないことなんです
よね。相手に「無限」を選んでしまったら、「自分はつねに静止している」「自分は自由に
動き回ることはできない」と思い知らされるだけなのでしょうね。「真理」も「無限」と同じ
でしょうか。「思考」も「飛行」のようなものだとしたら、空恐ろしくなります。
人間が本当にやるべきこと、人間の本当の存在意義、それは「思考」なんかじゃないのかも。