数列の漸化式について

質問

B1=1,Bn+1=3*Bn+2^{n-1}において、一般項Bnを求める問題が分からなくて…
自分はn+1にn-1,n-2,n-3,,,2,1を代入して引き算かと思ったんですが、上手くいかなくて(>_<)
解法を教えていただきたいです！！

回答No.4

arrysthmia

邪魔な 2^(n-1) の処理方法は、イロイロありますね。
もう１個、別なのを挙げてみましょう。

B[n+1] = 3 B[n] + 2^(n-1)　…(1)
B[n+2] = 3 B[n+1] + 2^n　…(2)

(2)－(1)×2 の両辺を計算して、
B[n+2] - 2 B[n+1] = 3 B[n+1] - 6 B[n]　…(3)

(3) は、お定まりの「三項間漸化式」ですから、
学習参考書などによく載っている方法で解くことができます。

B[n+2] - 5 B[n+1] + 6 B[n] = 0　…(3 ')
に対して、
方程式 x^2 - 5 x + 6 = 0 の解が x = 2, 3 とわかると、
(3 ') は
B[n+2] - 2 B[n+1] = 3 ( B[n+1] - 2 B[n] )
B[n+2] - 3 B[n+1] = 2 ( B[n+1] - 3 B[n] )
と２通りに変形できて、
B[n+2] - 2 B[n+1] = ( 3^n ) ( B[2] - 2 B[1] )
B[n+2] - 3 B[n+1] = ( 2^n ) ( B[2] - 3 B[1] )
の両式から B[n+2] を消去すると…

回答No.3

zk43

Bn+1=3Bn+2^(n-1)
の両辺を3^(n-1)で割ると、
Bn+1/3^(n-1)=Bn/3^(n-2)+(2/3)^(n-1)
Bn+1/3^(n-1)-Bn/3^(n-2)=(2/3)^(n-1)
ここで、Cn=Bn/3^(n-2)とおけば、
Cn+1-Cn=(2/3)^(n-1)
C1=B1/3^(-1)=3
これから、等比数列の和を考えれば、Cnの一般項がでて、Bnの一般項が
でる。

回答No.2

kumipapa

B(1) = 1
B(n+1) = 3 B(n) + 2^(n-1)
右辺の 2^(n-1) がどうも邪魔ですよね。うまい具合に
B(n+1) = p B(n) + q
という形にできればお定まりの解法がありますから、それを目指します。
B(n+1) = 3 B(n) + 2^(n-1)
両辺を 2^(n-1) で割って
B(n+1)/(2^(n-1)) = 3 B(n) / (2^(n-1)) + 1
B(n+1)/(2^(n-1)) = (3/2) B(n) / (2^(n-2)) + 1
ここで C(n) = B(n) / (2^(n-2)) とおけば
C(n+1) = (3/2) C(n) + 1
C(1) = B(1) / (2^(-1)) = 2
目標であった、C(n+1) = p C(n) + q の形になりました。ここから先、お定まりの解法なのですが、
C(n+1) = (3/2) C(n) + 1 を C(n+1) - α = β ( C(n) - α ) の形
にすることを目指します。こう表せれば C(n)-α は等比数列なので解けるでしょう？
慣れれば変形できるのですが、慣れなければ
C(n+1) - α = β ( C(n) - α )
を展開して
C(n+1) = β C(n) - αβ + α
これを
C(n+1) = (3/2) C(n) + 1
と見比べれば β = 3/2, α = -2 ですから、
C(n+1) = (3/2) C(n) + 1
⇔　C(n+1) + 2 = (3/2) ( C(n) + 2 )
故に、
C(n) + 2 = (3/2)^(n-1) (C(1) + 2)
C(n) = {3^(n-1) / 2^(n-3)} - 2

C(n) = B(n) / (2^(n-2))
と置いたのだから、
B(n) = 2^(n-2) C(n)
= 2・3^(n-1) - 2^(n-1)

回答No.1

Meowth

Bn+1=3*Bn+2^{n-1}
2^nでわると、
B(n+1)/2^n=3*Bn/2^n+2^{n-1}/2^n
B(n+1)/2^n=3/2*Bn/2^(n-1)+1/2
C(n)=B(n)/2^(n-1)
とすれば、
C(1)=1
C(n+1)=3/2C(n)+1/2
2C(n+1)=3C(n)+1
C(n+1)+1=3/2(C(n)+1)
C(n)+1=(3/2)^(n-1){C(1)+1}
C(n)=2(3/2)^(n-1)-1
B(n)=C(n)2^(n-1)={2(3/2)^(n-1)-1}2^(n-1)
={2^n(3^(n-1)/2^(n-1)-2^(n-1)}
={2・3^(n-1)-2^(n-1)}