漸化式の置き換え

質問

次の条件によって定められる{An}の一般項をbnで置き換えを利用し求めよ

(1)A1=10,An+1=2An+2^(n+2) [Bn=(An)/(2^n)]

問題と答えの画像
http://i.imgur.com/KeNUP5r.jpg

この問題の解法がわからなかったので、教えてください。。。

回答No.2

178-tall · ベストアンサー

>次の条件によって定められる{An}の一般項をbnで置き換えを利用し求めよ
>(1)A1=10,An+1=2An+2^(n+2) [Bn=(An)/(2^n)] …

　A(1) = 10
　A(n+1) = 2A(n) + 2^(n+2)
下式両辺を 2^(n+1) で割ると、
　B(n+1) = A(n+1)/2^(n+1) = A(n)/2^(n+1) + 2 = B(n) + 2
つまり、
　B(n+1) = B(1) + 2n
そして、
　B(1) = A(1)/2 = 5

だとすると、
　B(n) = 5 + 2*(n-1) = 2n + 3
つまり、
　A(n) = B(n)*2^n = 2^n*(2n + 3)

お礼

回答ありがとうございました

回答No.4

178-tall

参照 URL でも …

参考URL：

http://examist.jp/mathematics/recurrence-formula/sisu-zenkasiki/

お礼

回答ありがとうございます

回答No.3

178-tall

錯誤訂正だけ。

　A(n+1) = 2A(n) + 2^(n+2)
下式両辺を 2^(n+1) で割ると、
　B(n+1) = A(n+1)/2^(n+1) = A(n)/2^n + 2 = B(n) + 2

お礼

修正ありがとうございます

回答No.1

noname#232123

A[n+1]=2*A[n]+2^(n+2)....(*)
などと、番号、係数を分けて記述してください。
(*) であるものとして考えます。
両辺を2^nで割ってB[n]=A[n]/(2^n) と置き換えることにより、
B[n+1]=B[n]+2、B[1]=A[1]/2=5.
を得ます。{B[n]}は階差数列になっています。

お礼

回答ありがとうございます