三角形と円に関する性質の超難問（大学生以上向き）

質問

三点 A, B, C が定円上にあり AB と AC が元の円に含まれるもう一つの一つの定円に接している時、BC が別の定円に接している。

以上のことを示したいのですが、普通の中学高校の知識では証明できない気がします。
どういった方法で証明すればよいか教えていただけないでしょうか。

図は、
http://homepage2.nifty.com/tangoh/miyaenandline.html​
が参考になると思います。

回答No.2

stomachman

ご質問の１行目を読んでもよく分かんなかったのですが、リンクの図からすると、
命題：「任意の円Pと、円Pに内包される任意の円Qとがあるとき、円Rが存在して以下を満たす：　円Pの円周上の任意の点をAとし、Aを通る円Qの接線２本が円Pの円周と再び交わる点をそれぞれB, Cとすると、直線BCは円Rに接する」
ってことですね。こりゃ面白い定理ですね～

　証明はできたんですが、三角関数が出ずっぱりでエレガントにはほど遠い。でもどんな風にやったか、ご参考までに概要だけ申し上げましょう。

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上記の命題が正しいとすると、「円Rの中心Rは、円Pの中心Pと円Qの中心Qを結ぶ直線L上にある」ということは自明。従って直交座標系において、円Pを単位円であるとし、円Qを中心がQ=(a,0)で半径qの円であるとし、円Rを中心がR=(b,0)で半径rの円であるとしても一般性を失いません。

点Aと円Qの中心点Qを結ぶ直線が円Pと再び交わる点をDとします。
α=∠BAD
とおくと、当然
∠CAD=α
であり、また中心角∠BODと∠CODは
∠BOD=∠COD=2α
となります。従って、弧CDの長さは弧BDの長さと等しく、△DBCはDを頂点とする二等辺三角形であり、辺BCは線分ODと直交する。その交点をMとすると
OM=cos2α
です。

さて、点Dの座標を(cosφ, sinφ)とします。
OM=bcosφ+r　または　OM=bcosφ-r
を満たすとき、BCは円Rに接します。
だから、「定数r,bが存在して、点Aが円周P上のどこにあろうともこの式が成り立つ」ということを証明すれば、当初の命題が証明できたことになります。

ところで、
∠QAC=∠QAB=α
です。
QA=v
と置くと、余弦定理により
v^2=1+a^2-2acosθ
です。(「acosθ」ってのは「a掛けるcosθ」のことであって、arccosθじゃありません。）また、
sinα=q/v
である。以上から、
OM=cos2α=1-2(sinα)^2 = 1-2(q^2)/(v^2) = 1-2(q^2)/(1+a^2-2acosθ)
です。

さらに、
γ=∠OAQ
とおくと、
φ=θ+π+2γ
です。△OQAの正弦定理から
sinγ=(a/v)sinθ
また、円Qが円Pの中にあるので
|γ|＜π/2だから
cosγ=√(1-((sinγ)^2))=(1-acosθ)/v
です。

で、
OM=bcosφ+c（cはrまたは-rです。)
が恒等的に（つまり任意のθについて）成り立つようなb, cが存在することを示す。

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数式をごりごりした結果、連立一次方程式
((a^2)+1)c+2ab=1+(a^2)-2(q^2)
2ac+((a^2)+1)b=2a
にたどりつき、
c=1-2(a^2+1)(q^2)/(((a^2)-1)^2)
b=4a(q^2)/(((a^2)-1)^2)
と出たけれど、きっと計算間違いしているだろうと思います。