中学生を対象とした図形の問題

質問

横8cm縦6cmの長方形があります。これに対角線を2本引きます。この交点を中心とした円、直径6cmのがあります。この時、長方形と円の間には4箇所の隙間が出来ますね。この隙間4箇所それぞれに、長方形と円に内接（接した)した小さな円を４つ作ります。この時の、小さな円ひとつの半径xを求めなさい。
この問題は図形で出題されていますが、ここでの図形での出題方法が分かりません。どうか言葉で理解して下さい。
この問題は中学3年生レベルの問題です。東京の某有名S高校の入試問題だったそうです。（20年以上)
答えだけではなく、途中の式や解説まで答えていただけると助かるのですが…。
ちなみに解き方のヒントとして、３：４：５の比は使わないで解けるそうなんですが…。答えは整数ではなく√になるそうです。
どなたか助けて下さい。お願いします。

回答No.10

noname#77845

またまた、＃１です。

こういうことですよね？
http://edomin2004.web.fc2.com/index.html

高校入試の問題なら、こういう解き方でいいんじゃないかと思いますが…。

お礼

あなたは天才です。
ありがとうございます。私の記憶違いの為でしょうか、式は異なっていますが、図はまさにこの通りです。
そして回答も模範解答といえるのではないでしょうか。
参考意見ではなく自身有でよろしいのではないでしょうか。
あなたに感謝します。

補足

あの～？？？これ以外の式って存在しないんですか？

回答No.9

key-boy

高校入試の問題で三平方の定理を使わず解くのですか？
皆さんの解答＝10-2√21は正しいですよね。私もそうなりました。ただ、三平方の定理は使いました。
答えは正しいが、解き方が違うということでしょうか？
多分無理だと思いますが、今一度考えて見ます。
失礼しました。

お礼

ありがとうございます。
私の勘違いかもしれませんが、三平方の定理は使うかもしれません。ただし、３：４：５の比は使わないという意味で、理解して下さい。どうも、縦6センチ横8センチの長方形。という意味合いから、受験者に対し３：４：５を連想させる引っ掛け問題だったのかもしれません。
私の記憶によりますと以下のような式を使ったような・・・
（１+・・・・）（１+・・・・）（１+・・・・）（１+・・・・）？
（１-・・・・）（１-・・・・）（１-・・・・）（１-・・・・）？
何かこのような、やたらと1と（　）を使っていました。
１という数字は長方形の横の長さ8センチから円の直径6センチを引いた値を左右に振り分け2分の1にした数字だったと思います。
これがヒントになるでしょうか？
どうかよろしくお願いします。

回答No.8

noname#77845

再度＃１です。

「長方形の対角線上には、小さい円の中心点は、交わりません。」
それは判っています。
長方形の対角線は関係有りません。
大きい円と小さい円の中心を結ぶだけです。
また、「三平方の定理」は使っていますが、
「３：４：５」は使っていません。

「でも、やはり私の記憶している式とは一致しません。
別の式があるのではないでしょうか？」
ということなので、合っている合っていないにかかわらづ一度質問者が記憶している式を補足してもらえますか？

お礼

何回もありがとうございます。
私の記憶があいまいなばかりにご迷惑をお掛けしましてどうもすみません。
三平方の定理は使うかもしれません。ただし、３：４：５の比は使いません。長方形の寸法から、受験者を惑わせる為の引っ掛け問題だったのかもしれません。以下のような式だったかと思います。
（１+・・・・）（１+・・・・）（１+・・・・）（１+・・・・）？
（１-・・・・）（１-・・・・）（１-・・・・）（１-・・・・）？
何かこのような式に当てはまりませんか？
１という数字は8センチ-6センチ÷2　という事で、納得して頂けると思いますが…。
参考になりましたでしょうか？
どうかよろしくお願いします。

回答No.7

noname#77845

もう一度＃１です。
私の回答した方程式を解くと、
x=10±2√21
になると思います。
このうち、10+2√21は題意より不適なので
先に皆さんが示されたとおり、
10-2√21
が正解でしょう。
っていうか、＃３さんの回答そのものでしたね…。
＃３さんの回答があっていると思いますよ。

お礼

ありがとうございます。
でも、やはり私の記憶している式とは一致しません。
別の式があるのではないでしょうか？
答えは正しいかもしれませんが、
三平方の定理や座標を用いて、解くものではありません。
申し訳ありませんが、再考して頂けませんでしょうか？

回答No.6

noname#77845

＃１です。

なんとなく、判ってきました。
小さい円の半径をxとしたとき、
大きい円の中心と小さい円の中心を結びます。
小さい円の中心から、大きい円と長方形の底辺への垂線まで底辺と平行に線を引くと直角三角形が出来ます。
このとき三角形の
斜辺の長さは x+3
底辺の長さは 4-x
高さは　　　 3-x
になります。
三平方の定理より
(x+3)^2=(4-x)^2+(3-x)^2
x^2+6x+9=16-8x+x^2+9-6x+x^2
　　　　=25-14x+2x^2
移項して
x^2-20x+16=0
を解いたら半径出ませんか？
（計算間違ってるかもしれないけど…）

補足

三平方の定理（３：４：５）を使うと解けません。
補足させて頂きます。長方形の対角線上には、小さい円の中心点は、交わりません。
あなた様の回答は誤答である可能性が大です。
もう一度再考してみて頂けませんか。

回答No.5

springside

どういう構図になるかちょっと不明確なところがありますが、
私が想定した構図であれば、No.3の方の回答が正しいと思います。

構図：
(1)xy座標平面を考え、長方形の左下の頂点を原点に、
横の辺ををx軸に、縦の辺をy軸におく。
（長方形の４頂点は、(0,0),(8,0),(8,6),(0,6)になる）

(2)その長方形の中の円は、中心が長方形の中心座標(4,3)と一致し、
半径3の円である。

(3)長方形と円の間にできる左右２カ所の隙間の上部と下部に、
長方形の２辺、及び、長方形内部の円（上記(3)の円）の全てに
接する円を描く（計４つ描ける）。

(4)その円のうちの一つ、左下の円を考えると、その半径をrと
したとき、円の中心の座標は(r,r)である。

回答：
さて、長方形内部の大きな円（中心(4,3),半径3）と、小さな
円（中心(r,r),半径r）が接しているのだから、その中心間の距離
は、両円の半径の和に等しい。よって、

√{(r-4)^2+(r-3)^2} = r+3

これを解いて（両辺を２乗して展開・整理すれば、簡単な２次方程式
になります）、r=10-2√21（注：r=10+2√21は不適）

補足

補足、再確認をさせて頂きます。
縦6センチ、横8センチの長方形があります。この長方形に対角線を引きます。これを中心に半径3センチの円を描きます。（直径6センチ)
この時、長方形と円の間には左右2箇所の空間が出来ますね。そしてこの空間に、円と長方形２辺が接する最大の円を４箇所描きます。（長方形の四隅にひとつずつ)。
つまり円は、直径６センチの円とそれよりも小さな円４つが、長方形内に出来上がります。あなた様の(1)～(3)の構図は正しいです。
図形の問題なので出題がうまく出来なくて申し訳ありません。（このような場合、どのように出題すれば良いのか分かりません。)ごめんなさい。ご面倒ですが、はじめから式を加えて頂けると助かります。（私の記憶ですと、いきなりこのような、式が出来上がりません。)
私の記憶によりますと、この問題は、３：４：５の比を使わずに、また、座標を使わずに答えを導き出せます。あなた様の答えが正しいか間違いかは、正直わかりません。しかし、このような式でなかったことは覚えています。別の解き方があるのではないかと思います。申し訳ありませんが、今一度考えていただけませんか。
説明不足で失礼しました。

回答No.4

zarbon

まず、問題内容の整理からはじめないと題意が伝わらないと思います。

隙間4箇所⇒隙間2箇所はいいのですが、
(1)小さな円は1つの隙間それぞれに4つできるのでしょうか？
(小さな円の半径は全て同じですね)
2つずつではなくて？
(2)小さな円は長方形のどの辺と接しているのでしょうか。
接しているのは1点でしょうか。2点でしょうか。

補足

簡単な補足をさせて頂きますと、長方形の中心に半径3センチの円があります。そうしますと、長方形と円の間に、左右に隙間が出来ますね。この時、この円と長方形2辺に接する最大の円を、4箇所に描くと考えて下さい。この4箇所に出来る円の半径ｘを求めるわけです。
このような出題の場合、図形の出題方法が難しいのが…。
この問題は、座標で解くものではないです。
申し訳ありませんが、今一度考えて下さい。

回答No.3

nettiw

x=r

｛(4-r)^2}+｛(3-r)^2}=｛(3+r)^2}
｛16-8r+(r^2)}+｛9-6r+(r^2)}=｛9-6r+(r^2)}
｛16-8r+(r^2)}-12r=0
(r^2)-20r+16=0
r=10-2√21, 10+2√21(不適）

∴　r=10-2√21　。

お礼

ご回答ありがとうございました。が…。
定かではありませんが、私の記憶している式とは異なっています。
何か別の式で解く方法があるのでしょうか。
もしよろしければ、別の式も教えていただきたいのですがよろしくお願いします。解説もお願いします。
答えが正しいか、誤りかまでは私には分かりません。

回答No.2

bobo_0827

>長方形と円の間には4箇所の隙間が出来ますね。

2箇所の隙間しかできません。
もう一度、確認してから再度質問されたほうが良いと思います。

お礼

ご指摘ありがとうございました。
単純な出題ミスでした。
早めに教えて下さいまして助かりました。

補足

失礼しました。左右隙間は2箇所になります。
ご指摘ありがとうございます。
単純な出題ミスでした。

回答No.1

noname#77845

「横8cm縦6cmの長方形」
で
「対角線を2本引きます。この交点を中心とした円、直径6cm」
なら、
「長方形と円の間には4箇所の隙間が出来ますね。」
？？？できますか？？？

長方形の中心と円の中心が重なっていると円の左右1cmほど長方形に届かない部分があるので、隙間は2個しか出来ないような気がするのですが…。

お礼

あなた様のおかげで、出題ミスに早く気が付くことができました。
ありがとうございます。

補足

失礼しました。隙間は2箇所になります。
ご指摘ありがとうございます。