中学図形問題

質問

中学図形問題
添付のファイルを見て、下記の問題の答えを導く
わかりやすい解説をよろしくお願いいたします。

☆問題：FI：ICを最も簡単な整数の比で求めなさい。
★答え：１：４

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

点Ｆを通りＥＣと平行な線を引いて、ＢＣとの交点をＪ、ＢＨとの交点をＫとする。

ＦＫ：ＫＪ＝ＥＨ：ＨＣ＝１：２
ＫＪ：ＨＣ＝１：２
より、
ＦＫ：ＨＣ＝１：４

△ＦＪＩ∽△ＣＨＩ
より
ＦＩ：ＩＣ＝ＦＫ：ＣＨ＝１：４

お礼

回答のご説明、ありがとうございます！
上記のように考えるんですね～。
勉強になりました、本当にありがとうございます！

回答No.3

Mr_Holland

ANo.2です。
　難しく考えすぎました。
　ANo.1が模範解答です。

お礼

すごく丁寧な解説、ありがとうございます！
それなのにすみません、私にはちょっと高レベルだったので、
No.1の方を選ばせて頂きました。
でも本当にありがとうございます！

回答No.2

Mr_Holland

FI:IC=1:x とし、△CEBの面積をSと置き、△CHIの面積を考えます。

　　△CHI:△CHF=IC:FI=x:1　∴△CHI=x/(x+1) △CHF　　・・・・（１）
　　△CHF:△CEF=CH:CE=2:3　∴△CHF=2/3 △CEF　　・・・・・・（２）
　　△CEF:△CEB=EF:EB=1:2　∴△CEF=1/2 △CEB =S/2　　・・・・（３）

　（１）～（３）より　△CHI=x/(x+1) 2/3 S/2 = xS/{3(x+1)}　　　・・・・（★１）

　他方、△CHIの面積は次のようにしてもｘとＳで表せます。

　　△CHI=△CHB-△CIB　　　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・（４）
　　△CHB:△CEB=CH:CE=2:3　　　∴△CHB=2S/3　　　　　・・・・・（５）
　　△CIB:△CFB=CI:CF=x:(1+x)　∴△CIB=x/(x+1) △CFB　　・・・（６）
　　△CFB:△CEB=FB:EB=1:2　　　∴△CFB=1/2 △CEB =S/2　　・・・・（７）

　（６）～（７）より　△CIB=x/(x+1) S/2 =xS/{2(x+1)}　　・・・・・（８）
　（４）（５）（８）より　△CHI=2S/3-xS/{2(x+1)} =(x+4)S/{6(x+1)}　　・・・・（★２）

　ところで、式（★１）と（★２）は同じ△CHIの面積を表しているので、等しい。
　　∴xS/{3(x+1)}=(x+4)S/{6(x+1)}
　　　2x=x+4　　　　　　　　　　　　　←両辺をｘＳで割って、６（ｘ＋１）倍したもの。
　　∴x=4
　この解ｘは正なので問題の答えとしてよい。

　従って、FI：IC=1:4