基礎的な図形問題です。。。

質問

「一辺の長さが1cmの正方形を隙間なく並べて一つの長方形を作ったところ、その面積は300cm2、対角線の長さは25cmであった。 このとき、対角線が通る正方形の数として、正しいのは？」

答えは「58個」でした。

まったく分かりません！！

分かりやすく教えて下さい。
そもそも対角線ってなんですか？

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

そもそも対角線ってなんですか？
＞＃２さんの回答(ANo.2)の通りであり、問題の長方形には
2本の対角線があります。

出来た長方形の2辺の長さをAcm、Bcmとすると、面積300=AB、
対角線の長さの二乗=25^2=625=A^2+B^2(三平方の定理)。
(A+B)^2=A^2+B^2+2AB=625+2*300=1225からA+B=√1225=35・(ア)
(A-B)^2=A^2+B^2-2AB=625-2*300=25からA-B=±5・・・・・・・・・(イ)
A＞Bとすると(イ)よりA=B+5、これを(ア)に代入してB+5+B=35
より2B=30、B=15。A=B+5=15+5=20。よって、出来た長方形の
2辺の長さは20cmと15cmになります(A＜BとするとB=20、A=15
となり、長方形の大きさは同じになります）。
　ここからは説明をし易くするために、一辺の長さが1cmの
正方形を隙間なく並べて一つの長方形を作る代わりに、
1cm四方の升目の方眼紙に描いた長方形(横の長さ20cm、縦の
長さ15cm)について、この問題を考えます。
方眼紙に横軸x軸、縦軸y軸を描き、両軸の交点を原点O(0,0)
とし、この原点と点P(20,0)、点Q(20,15)及び点R(0,15)を順に
結ぶと、横20cm、縦15cmの長方形OPQRが出来ます。
　そこで、この長方形の対角線の1本OQが通る1cm四方の升目の
数を調べます。点Oから点Qに向けて対角線OQを引いていくと、
この対角線は方眼紙の縦の罫線と横の罫線(共に1cm間隔)を1本
横切る度に新たな升目1個を通ることが分かります。この長方形
の内部にある縦の罫線の本数は、x座標がx=1からx=19までの19本、
同じく横の罫線の本数はy座標がy=1からy=14までの14本なので、
対角線OQが通る升目の数は、原点を含む升目1個を加えて
19+14+1=34個になりますが、対角線が縦と横の罫線の交点を通る
場合は、縦と横の罫線を同時に横切ることになるので、この場合
に限っては縦と横の罫線合わせて2本の罫線を横切っても新たに
通る升目の数は1個と数えなければなりません。言い換えると、
対角線OQが通る升目の数は、34個から対角線OQ上にある縦横の
罫線の交点の数を引いた数になります。
　そこで次に、この対角線OQ上にある縦横の罫線の交点の数を
調べます。対角線OQの傾斜は15/20、約分すると3/4になるので、
この対角線は原点O(0,0)から、縦横の罫線の交点(4,3)、同じく
(8,6)、同じく(12,9)、同じく(16,12)を通って点Q(20,15)に至る
ので、対角線OQ上にある縦横の罫線の交点の数は、点(4,3)、
点(8,6)、点(12,9)、点(16,12)の4個になります。よって、対角線
OQが通る1cm四方の升目の数は、34から4を引いた30個ということ
になります。
　長方形の対角線の数は2本ですから、この30個×2で60個が得られ
ますが、2本の対角線は長方形の中心部で交わるので、その交点を
中心に2本の対角線が同じ1個の升目を通る場合があり、1本の対角
線が通る升目の数を2倍にした数には、この2本の対角線が共に通る
升目の数が重複して含まれています。従って、1本の対角線が通る
升目の数を2倍した数から、2本の対角線が共に通る升目の数を引い
てやる必要があります。この問題では、2本の対角線の交点Sは
S=S(10,15/2)となるので、その位置は長方形の縦の罫線x=10と横の
罫線y=7及びy=8との2個の交点の中央になり、そこを通る2本の対角
線(対角線OQの傾斜は3/4、同じくPRの傾斜は-3/4)が共に通る升目は、
Sの両側の升目2個になります。
　以上から、横20cm縦15cmの長方形の2本の対角線が通る1cm四方の
升目の数は、(1本の対角線が通る升目の数×2)マイナス(2本対角線
が共に通る升目の数)=30×2-2=58(個)になります。

回答No.2

alice_44

対角線というのは、
多角形の頂点のうち辺で結ばれていない二個
を両端とする線分のことです。
長方形には、二本あります。

回答No.1

ferien

縦ｘcm，横ｙcmとすると、ｘ^2＋ｙ^2＝２５^2，ｘｙ＝３００だから、
連立させて解くと、
ｘ^4－６２５ｘ^2＋９００００＝０
（ｘ^2－４００）（ｘ^2－２２５）＝０
ｘ^2＝４００，ｘ^2＝２２５
ｘ＞０より、Ｘ＝２０または１５
ｘ＝１５のとき、ｙ＝３００／１５＝２０で考える。
縦×横＝３×４のとき、１本の対角線が通る正方形の数は６個で、
対角線２本だから６×２＝１２個
１５×２０のときは、この３×４の長方形が斜めに５個並ぶから、１２×５＝６０個
中央にくる３×４の長方形で、２個重複して数えることになるので、
６０－２＝５８個

になりました。
斜めの部分だけでも簡単に図を描いて確認してみて下さい。