経済原論の問題教えて下さい

質問

経済原論のミクロ経済学の質問なのですが、分かる人は教えて下さい。「ある消費者の効用関数がU＝Xⅰ（Xⅱ＋４）で所得はすべてXⅰ、Xⅱに支出され、Xⅰの価格が１、Xⅱの価格が２、所得が４０の場合、Xⅱの購入量はどれだけになるか答えなさい。」という問題です。
｛Xⅰはエックスワン、Xⅱはエックスツー｝

効用関数を微分して限界代替率（MRS)＝Uｘⅰ／Uｘⅱ＝（Xⅱ＋４）／Xⅰというところまでは出たのですが、回答には価格比率が１／２だから（Xⅱ＋４）／Xⅰ＝１／２だと書いてありました。あとはこれを予算制約式に代入して答えが出るのですが、なぜ価格比率が１／２だと（Xⅱ＋４）／Xⅰ＝１／２なんでしょうか？自分で考えると理屈では（Xⅱ＋４）／Xⅰ＝２／１になるような気がするのです・・。回答だと逆比になっちゃうと思うのですが、だれか分かる方で、教えていただけたら幸いです。

回答No.1

moqmoqmoq · ベストアンサー

限界効用をMU（Marginal Utility)とおくと、

MUi = Xii + 4
MUii = Xi

です。
ある無差別曲線上の任意の点で同一の効用を得ているのですから、

MUi*ΔXi + MUii*ΔXii = 0

が成立しています。つまり、Xiが変化したときの財iから得られる効用の
変化とXiiが変化したときの財iiから得られる効用の変化は相殺しあうこと
を表しています。
具体的には、財iの消費量が変化したときに効用が５増加した場合、財iiの
消費量の変化による効用の変化は－５となります。
そうでなければ同じ無差別曲線上の消費量の組み合わせとはいえないからです。

この式を変形すると

-ΔXii/ΔXi = MUi/MUii = MRS

となり、左辺は限界代替率（MRS)を表しています。
一方、効用最大化を達成する条件は

MRS = -Pi/Pii

ですから、この２つの条件式を用いると

MRS = -Pi/Pii = MUi/MUii

となります。
この条件式を用いると

（Xⅱ＋４）／Xⅰ＝１／２

となります。

いかがでしょうか

お礼

早速の回答ありがとうございます。なるほど、自分なりに考えました。-ΔXii/ΔXi = MUi/MUii をXⅰのXⅱに対する価格比と考えれば２／１となり、（Xⅱ＋４）／Xⅰ＝１／２ になりました。やはり限界代替率と価格比の部分を完全に理解していなかったようです。本当にありがとうございました。