【ミクロ】効用最大～お力貸して下さい。

質問

こんばんは。ミクロ経済学の効用最大化問題の解き方を手伝ってください＞＜

ラグランジュ乗数法がよくわからないので、(２)はラグランジュ～を使わずに微分や偏微分で解く方法があれば教えてください。

ちなみに友人の解は(１)＝1/2 (２)x1=10 x2=30　となりました。

解き方を書いて下さるとうれしいです。よろしくおねがいします。

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(1)　効用関数をu=x1^1/2・x2^1/2であらわせるとする。
x1=x2=4のときの第１財(x1)の限界効用は何か。

(2)　第１財(x1)の価格を30、第２財(x2)の価格を10、所得を600として、第一財と第二財の効用を最大化する消費量を求めよ。

以上です。

回答No.1

noname#101087

(1) u = (x1*x2)^(1/2) らしいので、
　　x1 の限界効用 : ∂u/∂x1 = (1/2)*(x2/x1)^(1/2)
　　x2 の限界効用 : ∂u/∂x2 = (1/2)*(x1/x2)^(1/2)
x1 = x2 = 4 のとき
　　第１財(x1)の限界効用は　∂u/∂x1 = 1/2

(2)　第１財(x1)の価格を30、第２財(x2)の価格を10、所得を600として、第一財と第二財の効用を最大化する消費量を求めよ。
　所得枠 : 600 = 30*x1 + 10*x2
　　　　　　x2 = (600 - 30*x1)/10 = 60-3*x1
　効用 : u = (x1*x2)^(1/2) = {x1*(60-3*x1)}^(1/2)
　　　　　　x1*(60-3*x1)　を x1 で微分 → 60 - 6*x1 → x1 = 10 にて ゼロ → このとき、x2 = 60 - 3*10 = 30
　　　　　x1 = 10, x2 = 30 にて効用 u が極大。