CES型効用関数の偏微分なのですが、

質問

CES型効用関数の偏微分なのですが、

効用最大化のラグランジュ関数、

Λ＝x1(x2^-ρ＋x3^-ρ)^(-1/ρ) +λ（I-p1x1-p2x2-p3x3)

をx2で偏微分したとき、

∂Λ/∂x2=x1(x2^-ρ＋x3^-ρ)^(-1/ρ -1) x2^(-ρ-1) -λp2=0

となるのがわかりません。指数部分はどうしてこのように偏微分されるのでしょうか？
無理関数の微分など色々考えたのですがわかりませんでした。

どなたか知恵をお貸しいただけたら幸いです。
よろしくお願いします。

回答No.1

noname#185706 · ベストアンサー

L = {x2^(-ρ) ＋ x3^(-ρ)}^(-1/ρ)
とします。これを x2 で偏微分するときは、
M = x2^(-ρ) ＋ x3^(-ρ)
L = M^(-1/ρ)
として、合成関数の微分を行います。
∂L/∂x2 = (∂L/∂M) (∂M/∂x2)
　　　　　= (-1/ρ) M^{-(1/ρ) - 1} (-ρ) x2^(-ρ - 1)
　　　　　= {x2^(-ρ)＋x3^(-ρ)}^{-(1/ρ) - 1} x2^(-ρ - 1)

お礼

ご回答有難うございました。
なるほどです。このように合成関数を使うのですね。よくわかりました。
有難うございました。