ミクロ経済学の問題です。

質問

ミクロ経済学の問題です。
よろしければご教授ください。

ある消費者の効用関数が

U(X,Y)＝X^2Y

のとき、

(1) X財はY財の粗代替財か、粗補完財か、あるいはどちらでもないだろうか。理由を説明し答えなさい。

どちらでもない
(理由) X財の需要のY財に対する交差弾力性が0だから。

(2)X財はY財の代替財か、補完財か、あるいはどちらでもないだろうか。理由を説明し、答えなさい。

(1)は解けたのですが、(2)をどのように答えたらいいのかわかりません。

回答No.1

statecollege · ベストアンサー

粗代替財か、粗補完財か調べるためには、X財、Y財の通常の需要関数を導く。
max U(X,Y)=X^2Y
s.t. PxX+PyY = I
を解くことより
X=(2/3)I/Px
Y=(1/3)I/Py
を得る(確かめてください！）。
∂X/∂Py=∂Y/∂Px=0
よりX財とY財は互いに粗代替でも、粗補完でもないことは、質問者さんの回答の通り。

一方、X財とY財が代替財か、補完財かを調べるためには、X財とY財の「補償された」需要関数を導出する必要がある。このためには

min E(X,Y)=PxX+PyY
s.t.
U＝X^2Y

を解く。つまり、一定の効用水準Uを維持するとき、支出Eを最小化するX財とY財の消費はいくらなるか、という問題を解く。この問題の解は

X= U^(1/3)[2(Py/Px)]^(1/3)
Y= U^(1/3)[2(Py/Px)]^(-2/3)

となる（確かめてください！XとYの交叉偏微分を求めると

∂X/∂Py=(2/3)U^(1/3)[2(Px/Py)]^(-2/3)(1/PX) = ∂Y/∂Px > 0

となり（確かめてください）、X財とY財は互いに「代替財」であることがわかる。

XとYの補償された需要関数を求めたのは、価格変化のスルツキー分解（代替効果と所得効果に分解する）において、所得効果を除いて代替効果の部分だけを見るためだ（なぜ？）。

回答No.3

statecollege

訂正。回答NO2において

＞したがって、補償された需要曲線では価格Pxが下がっていくと、「実質所得」、つまり効用を一定に保つため、名目所得は増やすような操作をする。
⇒
したがって、補償された需要曲線では価格Pxが下がっていくと、「実質所得」、つまり効用を一定に保つため、名目所得は減らすような操作をする。

と直してください。要するに、Xを縦軸にYを横軸にとったX－Y平面に無差別曲線群と予算線を書き入れ、予算線と接する無差別曲線に注目してくださ。２つの曲線の接する点で当初の最適消費の組が与えられる。いま、Pxが下落したとする。Iが一定のままだと、予算線はY切片を固定して右上方向に（反時計回りに）回転し、別の無差別曲線と接する。そこが通常の需要曲線のもとでの、Px下落後の最適点だ。補償された需要曲線のもとでの、Px下落後の最適点はその新しい予算線を下方に平行移動させ（したがってIを減らすようにすることになる）、それが当初の無差別曲線と接する点を見つける。そこが補償された需要曲線のもとでの、Px下落後の最適点だ。
以上はPxが変化した(下落）したときの操作だが、Pyが変化したときも同様だ。ご自分でトライしてみてください。

お礼

ありがとうございます！

回答No.2

statecollege

もしかしたら、補償された需要曲線（需要関数）をご存じない？通常の需要関数（マーシャリアン需要関数とも呼ばれる）は、名目所得を一定として求められる。つまり、
max U=u(X,Y)
PxX+PyY = I
を解き、解は
X=Dx(Px,Py,I)
Y=Dy(Px,Py,I)
で表わされる。Xの需要曲線は、最初の式から、PyとIを一定として、XとPxの関係（正常財の場合、Pxが下がると、Xは増加するので、右下がりの曲線となる）を描いたもの。Yについても同様。
しかし、Pxが下がっていくと、名目所得Iが一定だと、「実質所得」は増加していく。補償された需要曲線は、価格変化の代替効果を分離するため、実質所得を当初の水準に維持しながら、Pxの変化がXに与える効果を描く。ここで、当初の「実質」所得とは当初の効用水準のこと。したがって、補償された需要曲線では価格Pxが下がっていくと、「実質所得」、つまり効用を一定に保つため、名目所得は増やすような操作をする。数学的には
min E(X,Y)=PxX+PyY
s.t.
u(X,y)=U(一定）
を満たす消費の組（X,Y)を求める。