高次方程式の問題がわかりません。

質問

x^6 - 64 = 0

　について、xの解がわかりません。

　x^2 を X と置き換えて、問題の式を
X^3 - 64 = 0　とし、因数分解して
( X - 4 ) ( X^2 + 4X + 16 ) = 0 になるのではないかと思ったのですが・・・。

　左側の括弧から、X = 4 となり、x^2 = 4　となって、 x = 2,-2　となることはわかります。

　でも右側の括弧から、どうやって x の解を導きだしたらよいのかわかりません。

　X^2 + 4X + 16　を X について解くと、 X = -2 + 2√3i または -2 - 2√3i となると思うのですが、
X を x^2 に戻してやったときに、x^2 = -2 + 2√3i または -2 - 2√3i　となってしまい、
これをxについて解いてやろうとすると、根号が二重にでてきてしまうようで、何がなんだか全くわかりません。

　右側の括弧から、どうやってxの解を導きだせばよいのでしょうか。

　数学は苦手なので、どうか易しい解説をしていただけないでしょうか。

　お願いいたします。

回答No.3

ka1234 · ベストアンサー

こんにちは。

方程式が解けるまで、因数分解してみましょう。

使う公式は、次の３つです。
[1]a^2-b^2＝(a+b)(a-b)
[2]a^3+b^3＝(a+b)(a^2-ab+b^2)
[3]a^3-b^3＝(a-b)(a^2+ab+b^2)

　x^6-64
＝(x^3)^2-8^2・・・[1]を使える形にします。
＝(x^3^+8)(x^3-8)・・・[1]を使いました。
＝(x^3^+2^3)(x^3-2^3)・・・[2][3]を使える形にします。
＝(x+2)(x^2-2x+4)(x-2)(x^2+2x+4)・・・[2][3]を使いました。
であるから、

X＝±2, 1±√3i, -1±√3i　の６個になります。（答え）

お礼

ご回答ありがとうございます。

　完璧な解答、ありがとうございます。

　目からウロコです。

　回答者様が丁寧に解説してくださったおかげで、因数分解の
部分も理解することができました。

　ありがとうございました！

回答No.5

Tacosan

x^4 + 4x^2 + 16 はトリッキーだけど
x^4 + 4x^2 + 16 = (x^4 + 8x^2 + 16) - 4x^2
= (x^2+4)^2 - (2x)^2
= (x^2 + 2x + 4)(x^2 - 2x + 4)
と因数分解できます.
x^4 + x^2 + 1 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)
の方はよく知られてるけど.

お礼

ご回答ありがとうございます。

　なるほど・・・そういう因数分解の手もあるのですね。

　とても参考になりました！

　それから、別の因数分解の公式も教えてくださって、ありがとうございました。

回答No.4

tauyu18

この場合は、i＾2=-1ですから
x＾2
=-2+2√3i
=-3+2√3i+1
=3i＾2+2√3i+1
=(√3i+1)＾2
よって
x=±(√3i+1)　となります。

x＾2=-2-2√3iも同様です！！

お礼

ご回答、ありがとうございます。

　また、質問の意図に沿った形で回答していただき、とても嬉しいです。

　なるほど、　i^2=1　を使って式を変形すればよかったのですね。

　計算したら、答えが合いました。

　ポイントを差し上げられなくて、ごめんなさい。

　二人までにしかポイントを差し上げられない規定になっているのが残念です。

　本当に、ありがとうございました。

回答No.2

Nao_F

ANo.1 です。
すみません、途中を書き間違えました。
X^2－64＝X^2－8^2＝(X+8)(X-8)＝0
です。

お礼

ご回答ありがとうございます。

　なるほど！

　x^3 を X とおけばよかったのですね・・・。

　計算したら、答えがでました。

　ありがとうございました！

回答No.1

Nao_F

x^2 ではなく x^3 を X とすれば
X^2－64＝X^2－X^2＝(X+8)(X-8)＝0
これでとけませんか？