高次方程式の解

質問

x^4+x^3+x^2+x+1=0
の解を求めなさい。
x^2+1=tと置いてやってみたのですが、どうしても２重根号と
なってしまいます。
全然間違っているかもしれません・・・。
すいません誰かお願い致します。

回答No.2

thetas · ベストアンサー

ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0 型の解法を使うことができます。

[その解法の方針]
　x=0は明らかに解にはなりません。
　x≠0なので、両辺x^2で割ることができ、x^2+x+1+x^(-1)+x^(-2)=0となります。
　　t=x+x^(-1)とおいて、tの二次方程式を作ります。
　　あとは、tの値を求めて、xの値を求めます。

お礼

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回答ありがとうございます。
なんとか解くことができました。

回答No.4

himitsukun

No.(1)　の方法では、
x^5-1=0を解くことになりますが、現在の高校生の場合、
複素数平面については扱っていないので、
やはり、相反方程式を利用するのがよいかと。

なお、x^5-1=0は,
x=cos(360/5)^n+i sin(360/5)^n （但し、n は0～4の整数)
というのが、複素数平面における解です。
解は複素数平面上での、半径１の円周上の５点で、
これらが正五角形を作ることになります。

お礼

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回答No.3

adinat

背反方程式、または相反方程式と呼ばれていて、ANo.2様が書かれているように解くのが定跡です。

t=x^2+1とおいても、tの整式にはならないので、どうやって解いたかのかはいささか疑問ですが、いずれにせよ、解には二重根号があり、それは外れないので、安心してください。問題が若干悪いのです。

お礼

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回答No.1

rabbit_cat

等比級数の公式を使って，
x^4+x^3+x^2+x+1 = (x^5-1)/(x-1)
したがって，
(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) = x^5-1
です．
右辺=0 は５次方程式ですが解けますよね，
解は全部で５個ありますが，そのうち，x-1=0 の解でないものが，
x^4+x^3+x^2+x+1=0
の解ですね．

お礼

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