高次方程式の解とΣの計算

質問

次の問題の解き方と答えを教えてください。

x^2009+2x^2008+3x^2007+…+2009x+2010=0 の解が
a1,a2,a3,…,a2009　であるとする。
Σについて、i=1～2009,j=1～2009,i≠j　のとき、
Σ(-aj/ai)-2007 の式の値を求めよ。

回答No.1

rnakamra

Σ(i=1～2009,j=1～2009,i≠j)(-aj/ai)-2007
=Σ(i=1～2009,j=1～2009)(-aj/ai)-Σ(i=1～2009)(-ai/ai)-2007
=Σ(i=1～2009,j=1～2009)(-aj/ai)+2009-2007
=Σ(i=1～2009,j=1～2009)(-aj/ai)+2
ここまでは簡単。
次に、jについてのみの計算を行う。
与式=Σ(i=1～2009){Σ(j=1～2009)aj/(-ai)}+2
となるが、
Σ(j=1～2009)aj
は方程式 x^2009+2x^2008+3x^2007+…+2009x+2010=0 の全ての解の和であることから、解と係数の関係からすぐに求められる。

次に、Σ(i=1～2009)(1/ai)が必要になるが、これは通分すると
分母：Π(i=1～2009)ai
分子：Σ(i=1～2009)Π(k=1～2009,k≠i)ak
となるが、この値は両方とも解と係数の関係から簡単に求めることができます。

お礼

ありがとうございました。
ご回答をもとに友人の支援により何とか分かりました。

補足

ありがとうございます。
ですが、数学がとても苦手なのでいま一つ消化できません。
答えはどうなるのでしょうか。