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高次方程式
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二次方程式で虚数iを学んでいるでしょう。 -3i^2(iは虚数単位)も解の一つです。 ずぼらな回答をしちゃいけません。 この問題の場合、直感的にx=3という解が浮かび上がりますが、それは解の一つに過ぎず、それが三重根とおっしゃるなら、その根拠を示すべきです。これが数学の厳密さです。そのおかげで我々は人工衛星を打ち上げ、太陽系の彼方まで探査ロケットを送り込んでいるのです。 さて、直感的にx=3は解の一つとわかりました。ならば因数定理によって、題意の多項式は (x-3)(x^2+………） に因数分解されます。 そして、左がわの括弧内の式から質問者さんのおっしゃる解のひとつ、x=3が導かれるわけで、右がわの括弧内の式からどのような解が導かれるのか、それは質問者さんの努力におまかせします。 具体的には、右がわの括弧内は多項式x＾3－27をx-3で除した商になります（一次下がって二次式になります）。 余りはゼロになりますからそのおつもりで。(^^;
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x^4+2x^3-x^2+2x+1=0を解け。 （解）x=1で解を持たないのでx≠0 両辺をx^2で割ると (x^2+1/x^2)+2(x+1/x)-1=0 (x+1/x)^2+2(x+1/x)-3=0 (x+1/x+3)(x+1/x-1)=0 (1)x+1/x+3=0のとき ∴x=-3±√5/2 (2)x+1/x-1=0のとき ∴x=1±√3i (1)(2)より x=-3±√5/2,1±√3i となりますが、x^2で両辺を割るという発想がなかなか出ませんでした。 もっと簡単に理解できるような解法があれば教えてください。 （解はかなり略で書いています。申し訳ありません。）
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高次方程式の問題です。 xの方程式x(x-3)(4x^2+4ax+a^2-9)=0…(1)がある。 [1](1)が異なる3個の実数解をもつような実数の定数aの値を求めよ。 [2]数直線上で(1)の4個の解が等間隔に並ぶようなaの値の個数を求めよ。 という問題なのですが、[1]は自力で解いたので添削をお願いします。 [2]の答えはちなみに4なのですが、どう考えたら良いか分かりませんでした。[2]はヒントだけでも教えて頂けたら幸いです。 [1] 4x^2+4ax+a^2-9…(2)の判別式をDとすると、D/4=4a^2-4(a^2-9)=9>0 ∴異なる二つの実数解をもつ。 題意を満たすには、異なる二つの実数解のうち１つが０または３であればよい。 (i)(2)がx=0を解にもつとき、a^2-9=0 ∴a=±3 a=3のとき、4x^2+12x=4x(x+3)=0,x=0,-3 よって(1)の解はx=-3,0,3の３つ。 a=-3のとき、4x^2-12x=4x(x-3)=0,x=0,3 これは(1)の解が２つになるので、不適。 (ii)(2)がx=3を解にもつとき、36+12a+a^2-9=0,a^2+12a+27=(a+3)(a+9)=0 ∴a=-9,-3 a=-9のとき、4x^2-36x+72=0,x^2-9x+18=(x-6)(x-3)=0,x=3,6 よって(1)の解はx=0,3,6の３つ。 a=-3のとき、(i)と同様不適。 (i)(ii)より、a=3,-9
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