数II高次方程式

質問

x⁴＋4x³－x²－16x－12を因数分解する途中式と答えを教えてください。

回答No.4

noname#215361

まず、表記を改めます。

x^4+4x^3-x^2-16x-12（x^2と4で括れることに着目）
=x^2（x^2-1）+4（x^3-4x-3）
=x^2（x+1）（x-1）+4（x+1）（x^2-x-3）
=（x+1）｛x^2（x-1）+4（x^2-x-3）｝
=（x+1）（x^3+3x^2-4x-12）
=（x+1）｛（x^2（x+3）-4（x+3）｝
=（x+1）（x+3）（x^2-4）
=（x+1）（x+3）（x+2）（x-2）

回答No.3

info222_

式をじっと観察すると見えてくる。
実際にやると
x⁴＋4x³－x²－16x－12
=(x+4)x^3-(x^2+4x)-12x-12
=(x+4)x^3-(x+4)x-12(x+1)
=(x+4)x(x^2-1)-12(x+1)
=(x+4)x(x-1)(x+1)-12(x+1)
=(x+1){(x+4)x(x-1)-12}
第2項はx=2とおくと=0なので(x-2)で括り出せる。
=(x+1){(x-2+6)(x-2+2)(x-2+1)-12}
=(x+1){(x-2)^3+9(x-2)^2+20(x-2)}
=(x+1)(x-2){(x-2)^2+9(x-2)+20}
=(x+1)(x-2){(x-2)+4}{(x-2)+5}
=(x+1)(x-2)(x+2)(x+3)
=(x-2)(x+1)(x+2)(x+3) ...(答)

[別解]
x⁴＋4x³－x²－16x－12
=(x⁴－x²－12)＋(4x³－16x)
=(x^2-4)(x^2+3)+4x(x^2-4)
=(x^2-4)(x^2+3+4x)
=(x-2)(x+2)(x+1)(x+3)
=(x-2)(x+1)(x+2)(x+3) ...(答)

回答No.2

Willyt

与式にｘ＝２を代入して見るとその値がゼロになりますから (x-２) という因数があることになります。そこで与式を（ｘ－２）で割るとその商は x^3+6x^2+11x+6 となります。

従って与式=(x-2)(x^3+6x^2+11x+6 ) となりますね。そこで今度はこれにx=－２を代入してみます。ゼロになりますね。ですから

与式＝(x-2)(x+2)(x^2+4x+3) となります。ここから先の因数分解は自分でできますよね(^_^)

回答No.1

asuncion

x^4 + 4x^3 - x^2 - 16x - 12 = 0
だったら高次方程式と言っていいですが、
今回は因数分解する問題であって、
高次方程式を解く問題ではありません。

さて、
f(x) = x^4 + 4x^3 - x^2 - 16x - 12 とおく。
f(-1) = 1 - 4 - 1 + 16 - 12 = 0 であるから、
因数定理よりf(x)は(x + 1)で割り切れる。
実際に割ってみる。
f(x) = (x + 1)(x^3 + 3x^2 - 4x - 12)

x^3 + 3x^2 - 4x - 12
= x^2(x + 3) - 4(x + 3)
= (x + 3)(x^2 - 4)
= (x + 3)(x + 2)(x - 2)

∴f(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 2)(x - 2)