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三次方程式(とくに因数分解)
三次方程式 x^3-9x^2+15x=0の解説が本にはそのまま (x-1)^2(x-7)=0となりx=1,7となっていますが 途中式である、このような三次式の因数分解のやり方が分かりません。教えてください。お願いします。
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方程式は x^3-9x^2+15x-7=0 ですね。 これは、因数定理「整式f(x)において、f(a)=0 のときf(x)はx-aで 割り切れる」ということを使います。 x に何かを代入してみて、式=0となるものを探します。 (普通はかけて定数項になるような数) この問題の場合、x=1 を代入すると式の値が0になるから、割り算 (x^3-9x^2+15x-7)÷(x-1)を計算して、商 x^2-8x+7 を求め、 さらにこの商を因数分解して (x-1)(x-7) よって、x^3-9x^2+15x-7=(x-1)^2(x-7) となる。 というふうにやります。
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- partita
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みなさんが答えてくれているので、#5さんの補足。 xに1を代入すると左辺がゼロになって、等式が成立することは分かると思いますが、どうやって「1」を見つけるのか…? 高校数学の場合(私の経験では)-3,-2,-1,1,2,3のどれかを代入したらたいていゼロになります。代入後の計算を何度もする可能性もありますけどね。
お礼
有難う御座いました。
- pocopeco
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+または-の1、2、3を代入すると0になる式が多いです。代入して0になるものを見付けられなければ、難しいんですが。 この問題は 1 です。 代入して0になれば、その式は (x-1)を因数にもつので、残りは2次式になります。
お礼
有難う御座いました。
- Trick--o--
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このレベルなら、二次方程式のたすきがけと一緒です。 (x-a)(x-b)(x-c) = x^3 -(a+b+c)x^2 +(ab+bc+ca)x -abc abc=7, a+b+c=9 になりそうなのは……
- kara-age
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どちらにせよ、式と答えが違うように思いますが。 確認してください。
- Trick--o--
- ベストアンサー率20% (413/2034)
問題が間違っています。 下の式を展開すると x^3 -9x^2 +15x -7 = 0 になりますね。
補足
-7を打ち忘れていました。問題式はx^3-9x^2+15x-7=0です。
お礼
有難う御座いました。よく分かりました。