２次方程式、因数分解の問題

質問

２次方程式の問題

（√２－１）ｘ＾２＋（３－√２）ｘ＋√２＝０

因数分解

４ｘ＾３＋ｘ＋１

この２つの問題の解き方を教えて下さい。よろしくおねがいします

回答No.4

statecollege

ANo.3において、上から3番目と4番目の式から2乗の記号が抜けてしまったので、訂正します。3番目と4番目の正しい式はそれぞれ

x = {-1-2√2±√[D（√2＋1)^2]｝/2　

D(√2+1）^2 = (3-2√2）（3+√2）= 9 - 4×2 = 1

である。

回答No.3

statecollege

回答して二日たちますが、私の回答にたいしてとくに質問がないのでしょうか？回答者としては回答してもわかったのか、わかっていないのかわからない、反応がないという状態がいちばん困るのです。わからなかったら、「追加質問」を使って質問してほしい！！！

1番目の2次方程式の問題について因数分解して解いたが、念のため2次方程式の解の公式を使った解法を付け加えておきましょう。

解の公式　x = [-b ±√（b^2-4ac)]/2aを用いるが、この問題の場合

　　a = √２ -1, b = 3 - √2, c = √2

であることはもちろんです。これらを解の公式に」代入すると

　　x = [-(3-√ 2)±√D」/[2(√2-1)]

となる。ただし、D = b^2 - 4ac = (3-√2)^2 - 4(√2-1)√2　= 3-2√2である。 分子分母に√2 + 1を掛けて有理化すると、

　　x = ｛-1-2√2±√[D(√2+1)]}/2

となる。ところが、

　　D(√2＋１）=　(3-2√2)(3+2√2）= 9 - 4×2 = 1

であるから、これを上の式に代入すると、

　　x = -√2,　1-√２

となり、ANo.2で与えた答えと同じになる。

回答No.2

statecollege

最初のほうの問題も2次方程式の解の公式をつかってもよいし、この場合はかんたんに因数分解ができますね。
方程式の右辺は因数分解すると

　[（√２　+　1)x + 1]（x+ √２） = 0

となるので、解は

　　x = -1/（1+√２）、-√２

ただし最初のほうの解は分母を有理化して、1-√２となる。

回答No.1

statecollege

最初の問題は2次方程式の解の公式を使えばよいだけですが、トライしてみました？
2番目の問題は

(1)　　f(x) = 4x^3 + x + 1

と置いて、ｘのいろいろの値をトライしてみる。　x = -1/2をトライしてみましょう。

f(-1/2) = 4(-1/2)^3 + (-1/2) + 1 = 4×（-1/8)　-1/2　+　１　=　０．

このことは(1)の右辺はx+1/2で割り切れることを示している（因数定理）。x+1/2で(1)の右辺を割ると、

　　　　　(4x＾3 + x + 1)/(x+1/2) = 4x＾2 - 2x + 2

よって
　　　4x^3 + x + 1 = 2(2x^2 -x +1)(x+1/2)　
= (2x^2 -x +1)(2x + 1)　　　

と因数分解できる。途中の過程で分からないことがあったら質問してみてください。