数II高次方程式！

質問

2x³-x²+9と
3x²+8x²-1
をそれぞれ有理数の範囲で因数分解するのを教えてください。

回答No.1

info222_

[前半]
>2x³-x²+9
f(x)=2x³-x²+9 とおくと
f(-3/2)=-27/4-9/4+9=0
なので因数定理より f(x)は因数(x+(3/2))、すなわち(2x+3)をもつ。
f(x)から因数(2x+3)を括り出せば因数分解できる。
f(x)=(2x+3)x^2-3x^2-x^2+9=(2x+3)x^2-4x^2+9
=(2x+3)x^2-(4x^2-9)=(2x+3)x^2-(2x+3)(2x-3)
=(2x+3)(x^2-2x+3) ...(※1)
(x^2-2x+3)は有理数の範囲でこれ以上因数分解できない。
(∵2次方程式の解の公式を使えばx^2-2x+3=0が無理数解となる。)
よって(※1)が(答)となります。

[後半]
>3x²+8x²-1
3x³+8x²-1 の間違いでは？

そうなら
f(x)=3x³+8x²-1とおくと
f(1/3)=1/9+8/9-1=0
なので因数定理より f(x)は因数(x-(1/3))、すなわち(3x-1)をもつ。
f(x)から因数(3x-1)を括り出せば因数分解できる。
f(x)=(3x-1)x^2+x^2+8x^2-1=(3x-1)x^2+9x^2-1
=(3x-1)x^2+(3x-1)(3x+1)
=(3x-1)(x^2+3x+1) ...(※2)
(x^2+3x+1)は有理数の範囲でこれ以上因数分解できない。
(∵2次方程式の解の公式を使えばx^2+3x+1=0が無理数解となる。)
よって(※2)が(答)となります。