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微分方程式を教えてください!
(d^2 x)/(d t^2)+7(dx)/(dt)+12x=ε^(-3t) を解け という問題です。 ------------------------------ H(β)=β^2+7β+12 H(-3)=0となるので、 xp(t)=Atε^(βt),β=-3 とおく xp’(t)=Aε^(βt)+Aβtε^(βt) xp’’(t)=Aβε^(βt)+Aβε^(βt)+Aβ^(2)tε^(βt)=2Aβε^(βt)+Aβ^(2)tε^(βt) xp”(t)+7xp’(t)+12xp(t) =2Aβε^(βt)+Aβ^(2)tε^(βt)+7Aε^(βt)+7Aβtε^(βt)+12Atε^(βt)={(2β+7)+(β^(2)+7β+12)t}Aε^(βt),β=-3 ここまではわかったのですが、解答に書いてあるつづきは、 =Aε^(-3t) =ε^(-3t) →A=1 xp(t)=tε^(-3t)と書いてありました。意味が分かりません。 なぜこうなるのですか。できるだけ簡単に教えてください。お願いいたします。
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補講:x"+7x'+12x=e^(-5t) なら、右辺の形から特殊解を f(t)=Ae^(-5t) と置いてよいが、すなわち、A の値は求まるが、 x"+7x'+12x=e^(-3t) のときは、同次の一般解が x1=C1e^(-4t)+C2e^(-3t) で、与式の特殊解を f(t)=Ae^(-3t) に置くと、 f'(t)=-3Ae^(-3t)、f"(t)=9Ae^(-3t) などを与式に代入したとき、 左辺{9Ae^(-3t)-21e^(-3t)+12Ae^(-3t)}=右辺{e^(-3t)} で、 左辺{0}=右辺{e^(-3t)} より、A の値が求められない。 よって、f(t)=Ae^(-3t) が同時の一般解とガッチンコするときは、次数を上げて、f(t)=Ate^(-3t) にする。*試験には必ず出題されるから注意すること。
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- fuuraibou0
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補講でちょっとミスあり、御免ね! 左辺{9Ae^(-3t)-21e^(-3t)+12Ae^(-3t)}=右辺{e^(-3t)} でなく、 左辺{9Ae^(-3t)-21Ae^(-3t)+12Ae^(-3t)}=右辺{e^(-3t)} です。
- fuuraibou0
- ベストアンサー率36% (75/208)
x"+7x'+12x=e^(-3t) 与式は、2階線形非同次微分方程式であるが、右辺を 0 と置いた 同次の特性方程式(補助方程式)は、 y^2+7y+12=(y+4)(y+3)=0、 ∴ y=-4、-3 で、 同次の一般解は、x1=C1*e^(-4t)+C2*e^(-3t) 与式の特殊解は、f(t)=A*e^(-3t) と置くと、C2*e^(-3t) とガッチンコする から、次数を上げて、f(t)=At*e^(-3t) と置き、 f'(t)=A(1-3t)e^(-3t)、f"(t)=3A(3t-2)e^(-3t) を与式に代入すると、 3A(3t-2)e^(-3t)+7A(1-3t)e^(-3t)+12Ate^(-3t)=e^(-3t) よって、未定係数法(左辺と右辺の係数を比べる)より、Ae^(-3t)=e^(-3t) で、A=1、だから f(t)=t*e^(-3t) ゆえに、与式の一般解は、x=x1+f(t)=C1*e^(-4t)+(C2+t)e^(-3t) です。
- seaker
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{(2β+7)+(β^(2)+7β+12)t}Aε^(βt) に β=-3 を代入してください。Aε^(-3t) が出るはずです。 これが方程式の左辺になります。右辺の ε^(-3t) と比べれば A=1 であることが解るでしょう。
- Meowth
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xp(t)=Atε^(βt),β=-3 から非同次解の1つを求める 一般解は同次解の一般解と非同次解だから 非同次解が求まれば解が求まる {(2β+7)+(β^(2)+7β+12)t}Aε^(βt),β=-3 =Aε^(-3t) これが非同次項と一致するのは A=1のとき したがって、非同次解の1つは xp(t)=Atε^(βt),β=-3 でA=1 xp(t)=tε^(-3t)